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【LCA 树上倍增】P9245 [蓝桥杯 2023 省 B] 景区导游|普及+

news 2025/9/10 5:50:14

本文涉及知识点

树上倍增

P9245 [蓝桥杯 2023 省 B] 景区导游

题目描述

某景区一共有 $N$ 个景点，编号 $1$ 到 $N$ 。景点之间共有 $N - 1$ 条双向的摆渡车线路相连，形成一棵树状结构。在景点之间往返只能通过这些摆渡车进行，需要花费一定的时间。

小明是这个景区的资深导游，他每天都要按固定顺序带客人游览其中 $K$ 个景点： $A1,A2,…,AKA_{1},A_{2},\ldots,A_{K}$ 。今天由于时间原因，小明决定跳过其中一个景点，只带游客按顺序游览其中 $K - 1$ 个景点。具体来说，如果小明选择跳过 $A_{i}$ ，那么他会按顺序带游客游览 $A1,A2,…,Ai−1,Ai+1,…,AK(1≤i≤K)A_{1},A_{2},\ldots,A_{i-1},A_{i+1},\ldots,A_{K}(1 \leq i \leq K)$ 。

请你对任意一个 $A_{i}$ ，计算如果跳过这个景点，小明需要花费多少时间在景点之间的摆渡车上？

输入格式

第一行包含 $2$ 个整数 $N$ 和 $K$ 。

以下 $N - 1$ 行，每行包含 $3$ 个整数 $u ， v, t$ ，代表景点 $u$ 和 $v$ 之间有摆渡车线路，花费 $t$ 个单位时间。

最后一行包含 $K$ 个整数 $A1,A2,…,AKA_{1},A_{2},\ldots,A_{K}$ 代表原定游览线路。

输出格式

输出 $K$ 个整数，其中第 $i$ 个代表跳过 $A_{i}$ 之后，花费在摆渡车上的时间。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

10 7 13 14

说明/提示

【样例说明】

原路线是 $\rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 1$ 。

当跳过 $2$ 时，路线是 $\rightarrow 5 \rightarrow 1$ ，其中 $\rightarrow 5$ 花费时间 $3 + 2 + 2 = 7$ ， $\rightarrow 1$ 花费时间 $2 + 1 = 3$ ，总时间花费 $10$ 。

当跳过 $6$ 时，路线是 $\rightarrow 5 \rightarrow 1$ ，其中 $\rightarrow 5$ 花费时间 $1 + 1 + 2 = 4$ ， $\rightarrow 1$ 花费时间 $2 + 1 = 3$ ，总时间花费 $7$ 。

当跳过 $5$ 时，路线是 $\rightarrow 6 \rightarrow 1$ ，其中 $\rightarrow 6$ 花费时间 $1 + 1 + 2 + 3 = 7$ ， $\rightarrow 1$ 花费时间 $3 + 2 + 1 = 6$ ，总时间花费 $13$ 。

当跳过 $1$ 时，路线时 $\rightarrow 6 \rightarrow 5$ ，其中 $\rightarrow 6$ 花费时间 $1 + 1 + 2 + 3 = 7$ ， $\rightarrow 5$ 花费时间 $3 + 2 + 2 = 7$ ，总时间花费 $14$ 。

【评测用例规模与约定】

对于 $\%$ 的数据， $\leq K \leq N \leq 100$ 。

对于 $\%$ 的数据， $\leq K \leq N \leq 10^{4}$ 。

对于 $\%$ 的数据， $\leq K \leq N \leq 10^{5}$ ， $\leq u,v,A_{i} \leq N$ ， $\leq t \leq 10^{5}$ 。保证 $A_{i}$ 两两不同。

蓝桥杯 2023 省赛 B 组 I 题。

P9245 [蓝桥杯 2023 省 B] 景区导游 LCA 树上倍增

w1[i] 记录i到其父节点的边权。w[i]记录节点i到根节点的边权之和。w[根节点]=0。
性质一：a和b的最近公共祖先是ab。则a和b的最短路是：w[a]+w[b]-w[ab]。
第一步：以任意节点为根（我习惯0），BFS求各节点层次，根节点层次为0。
第二步：层次从小到大枚举节点cur，child是cur的孩子。则w[child] = w[cur]+边权。w1[child]=边权。
第三步：求初始边权之和S。
第四步：
a,0i 。S - (A[0]到A[1]边权)。
b,N-1i。S- （A[N-2]和A[N-1]边权）
c,S - (A[i-1]和A[i]边权) - (A[i+1]和A[i]边权)+(A[i-1]和A[i+1]边权)

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class CBFSLeve {
public:static vector<int> Leve(const vector<vector<int>>& neiBo, vector<int> start) {vector<int> leves(neiBo.size(), -1);for (const auto& s : start) {leves[s] = 0;}for (int i = 0; i < start.size(); i++) {for (const auto& next : neiBo[start[i]]) {if (-1 != leves[next]) { continue; }leves[next] = leves[start[i]] + 1;start.emplace_back(next);}}return leves;}template<class NextFun>static vector<int> Leve(int N, NextFun nextFun, vector<int> start) {vector<int> leves(N, -1);for (const auto& s : start) {leves[s] = 0;}for (int i = 0; i < start.size(); i++) {auto nexts = nextFun(start[i]);for (const auto& next : nexts) {if (-1 != leves[next]) { continue; }leves[next] = leves[start[i]] + 1;start.emplace_back(next);}}return leves;}static vector<vector<int>> LeveNodes(const vector<int>& leves) {const int iMaxLeve = *max_element(leves.begin(), leves.end());vector<vector<int>> ret(iMaxLeve + 1);for (int i = 0; i < leves.size(); i++) {ret[leves[i]].emplace_back(i);}return ret;};static vector<int> LeveSort(const vector<int>& leves) {const int iMaxLeve = *max_element(leves.begin(), leves.end());vector<vector<int>> leveNodes(iMaxLeve + 1);for (int i = 0; i < leves.size(); i++) {leveNodes[leves[i]].emplace_back(i);}vector<int> ret;for (const auto& v : leveNodes) {ret.insert(ret.end(), v.begin(), v.end());}return ret;};
};
class CParents
{
public:CParents(vector<int>& vParent, long long iMaxDepth){int iBitNum = 0;for (; iMaxDepth; iBitNum++) {const auto mask = 1LL << iBitNum;if (mask & iMaxDepth) { iMaxDepth = iMaxDepth ^ mask; }}const int n = vParent.size();m_vParents.assign(iBitNum + 1, vector<int>(n, -1));m_vParents[0] = vParent;//树上倍增for (int i = 1; i < m_vParents.size(); i++){for (int j = 0; j < n; j++){const int iPre = m_vParents[i - 1][j];if (-1 != iPre){m_vParents[i][j] = m_vParents[i - 1][iPre];}}}}int GetParent(int iNode, int iDepth)const{int iParent = iNode;for (int iBit = 0; iBit < m_vParents.size(); iBit++){if (-1 == iParent){return iParent;}if (iDepth & (1 << iBit)){iParent = m_vParents[iBit][iParent];}}return iParent;}inline int GetBitCnt()const { return m_vParents.size(); };inline const int& GetPow2Parent(int iNode, int n)const {return m_vParents[n][iNode];}//在leftNodeExclude的1到rightLeve级祖先中查找符合pr的最近祖先template<class _Pr>int FindFirst(int leftNodeExclude, int rightLeve, _Pr pr) {for (int iBit = GetBitCnt() - 1; iBit >= 0; iBit--) {const int iMask = 1 << iBit;if (!(iMask & rightLeve)) { continue; }if (pr(m_vParents[iBit][leftNodeExclude])) {return BFindFirst(leftNodeExclude, iBit, pr);}leftNodeExclude = m_vParents[iBit][leftNodeExclude];}return -1;}//在node的0到rightLeve级祖先中查找符合pr的最远祖先比node高多少层次,这些层次必须存在template<class _Pr>int FindEnd(int node, int rightLeve, _Pr pr) {int leve = 0;for (int iBit = GetBitCnt() - 1; iBit >= 0; iBit--) {const int iMask = 1 << iBit;if (!(iMask & rightLeve)) { continue; }if (!pr(m_vParents[iBit][node])) {return leve + BFindEnd(node, iBit, pr);}node = m_vParents[iBit][node];leve = leve ^ iMask;}return leve;}
protected://在leftNodeExclude的1到2^pow^级祖先中查找符合pr的最近祖先template<class _Pr>int BFindFirst(int leftNodeExclude, int pow, _Pr pr) {while (pow > 0) {const int& mid = m_vParents[pow - 1][leftNodeExclude];if (pr(mid)) {}else {leftNodeExclude = mid;}pow--;}return m_vParents[0][leftNodeExclude];}//在node的[0,2^pow^-1]级祖先中寻找符合的最后一个template<class _Pr>int BFindEnd(int node, int pow, _Pr pr) {int leve = 0;while (pow > 0) {pow--;const int& mid = m_vParents[pow][node];if (pr(mid)) {node = mid;leve = leve ^ (1 << pow);}else {}}return leve;}vector<vector<int>> m_vParents;
};class C2Parents : public CParents
{
public:C2Parents(vector<int>& vParent, const vector<int>& vDepth) :m_vDepth(vDepth), CParents(vParent, *std::max_element(vDepth.begin(), vDepth.end())){}int GetPublicParent(int iNode1, int iNode2)const{int leve0 = m_vDepth[iNode1];int leve1 = m_vDepth[iNode2];if (leve0 < leve1){iNode2 = GetParent(iNode2, leve1 - leve0);leve1 = leve0;}else{iNode1 = GetParent(iNode1, leve0 - leve1);leve0 = leve1;}if (iNode1 == iNode2) { return iNode1; }for (int iBit = GetBitCnt() - 1; iBit >= 0; iBit--) {const int iMask = 1 << iBit;if (iMask & leve0) {const int i1 = GetPow2Parent(iNode1, iBit);const int i2 = GetPow2Parent(iNode2, iBit);if (i1 == i2) {while (iBit > 0) {const int i3 = GetPow2Parent(iNode1, iBit - 1);const int i4 = GetPow2Parent(iNode2, iBit - 1);if (i3 != i4) {iNode1 = i3; iNode2 = i4;}iBit--;}return GetPow2Parent(iNode1, 0);}else {iNode1 = i1; iNode2 = i2; leve0 -= iMask;}}}return iNode1;}
protected:vector<vector<int>> m_vParents;const vector<int> m_vDepth;
};class Solution {
public:vector<long long> Ans(const int N, vector<tuple<int, int, int>>& edge, vector<int>& A) {const int K = A.size();vector<vector<int>> neiBo(N);for (auto& [u, v, t] : edge) {u--, v--;neiBo[u].emplace_back(v);neiBo[v].emplace_back(u);}for (auto& i : A) { i--; }auto leves = CBFSLeve::Leve(neiBo, { 0 });auto leveNodes = CBFSLeve::LeveNodes(leves);vector<int> par(N, -1), w1(N);vector<long long> w(N);for (auto& [u, v, t] : edge) {if (leves[u] > leves[v]) {swap(u, v);}par[v] = u;w1[v] = t;}for (const auto& v : leveNodes) {for (const auto& cur : v) {if (-1 == par[cur]) { continue; }w[cur] = w[par[cur]] + w1[cur];}}C2Parents pars(par, leves);auto Dis = [&](int a, int b) {const auto ab = pars.GetPublicParent(a, b);return w[a] + w[b] - 2 * w[ab];};long long S = 0;for (int i = 1; i < A.size(); i++) {S += Dis(A[i], A[i - 1]);}vector<long long> ans;ans.emplace_back(S - Dis(A[0], A[1]));for (int i = 1; i+1 < A.size(); i++) {long long tmp = Dis(A[i - 1], A[i + 1]) - Dis(A[i - 1], A[i]) - Dis(A[i], A[i + 1]);ans.emplace_back(S + tmp);}ans.emplace_back(S - Dis(A[K - 1], A[K - 2]));return ans;}
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	//ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;	int N, K;in >> N >> K;auto edge = in.Read <tuple<int,int,int> > (N-1);auto A = in.Read<int>(K);
#ifdef _DEBUG		printf("N=%d", N);Out(edge, ",edge=");Out(A, ",A=");//Out(B, "B=");//Out(que, "que=");//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	auto res = Solution().Ans(N,edge,A);for (const auto& i : res){cout << i << " ";}return 0;
}

单元测试

int N;vector<tuple<int, int, int>> edge;vector<int>A;TEST_METHOD(TestMethod01){N = 6, edge = { {1,2,1},{1,3,1},{3,4,2},{3,5,2},{4,6,3} }, A = { 2,6,5,1 };auto res = Solution().Ans(N, edge, A);AssertV({ 10,7,13,14 }, res);}

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
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