神经网络|(十九)概率论基础知识-伽马函数·下
【1】引言
前序学习进程中，已经对伽马函数阶乘表达式，积分式和阶乘式等价和阶乘的积分表达式。
今天来一起梳理一下，因为这个学习过程的确翻来覆去。
【2】阶乘式
证明n!n!n!可以改写成下式：
n!=limk→+∞kn⋅k!(n+1)(n+2)...(n+k)n!=lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)}n!=limk→+∞(n+1)(n+2)...(n+k)kn⋅k!这个式子的作用是，用kkk的幂次抵消乘积的增长，让极限趋向于有限值。
证明这个式子：
第一步：
(n+1)(n+2)...(n+k)=(n+k)!n!(n+1)(n+2)...(n+k)=\frac{(n+k)!}{n!}(n+1)(n+2)...(n+k)=n!(n+k)!
第二步，代入阶乘式有：
n!=limk→+∞kn⋅k!⋅n!(n+k)!=n!limk→+∞kn⋅k!(n+k)!n!=lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!\cdot n!}{(n+k)!}=\\ n!lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}n!=limk→+∞(n+k)!kn⋅k!⋅n!=n!limk→+∞(n+k)!kn⋅k!
所以对式子的证明，可以简化为：
limk→+∞kn⋅k!(n+k)!=1lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}=1limk→+∞(n+k)!kn⋅k!=1
第三步：
因为：
(n+k)!=[k!][(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)](n+k)!=[k!][(k+1)(k+2) \cdot \cdot \cdot(k+n)](n+k)!=[k!][(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)]
所以：
limk→+∞kn⋅k!(n+k)!=limk→+∞kn⋅k![k!][(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)]=limk→+∞kn⋅k![k!][(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)]=limk→+∞kn(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}=\\lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{[k!][(k+1)(k+2) \cdot \cdot \cdot(k+n)]}=\\lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{[k!][(k+1)(k+2) \cdot \cdot \cdot(k+n)]}=\\ lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot(k+n)}limk→+∞(n+k)!kn⋅k!=limk→+∞[k!][(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)]kn⋅k!=limk→+∞[k!][(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)]kn⋅k!=limk→+∞(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)kn
第四步：分母每个括号中都提取一个kkk：
limk→+∞kn(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)=limk→+∞kn[k(1+1k)][k(1+2k)]⋅⋅⋅[k(1+nk)]=limk→+∞knkn⋅(1+1k)(1+2k)⋅⋅⋅(1+nk)=limk→+∞1(1+1k)(1+2k)⋅⋅⋅(1+nk)lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot(k+n)}=\\ lim_{k \rightarrow+\infty}\frac{k^n}{[k(1+\frac{1}{k})][k(1+\frac{2}{k})]\cdot \cdot \cdot [k(1+\frac{n}{k})]}=\\ lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n}{k^n\cdot (1+\frac{1}{k})(1+\frac{2}{k})\cdot \cdot \cdot (1+\frac{n}{k})}=\\ lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{k})(1+\frac{2}{k})\cdot \cdot \cdot (1+\frac{n}{k})} limk→+∞(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)kn=limk→+∞[k(1+k1)][k(1+k2)]⋅⋅⋅[k(1+kn)]kn=limk→+∞kn⋅(1+k1)(1+k2)⋅⋅⋅(1+kn)kn=limk→+∞(1+k1)(1+k2)⋅⋅⋅(1+kn)1
对于上述计算式，当k→+∞k \rightarrow+\inftyk→+∞时，分母的乘积为1，所以：
limk→+∞kn(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)=1lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot(k+n)}=1limk→+∞(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)kn=1
第五步，反过来再直接推一遍式子：
因为：
limk→+∞kn(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)=1=limk→+∞kn⋅k!k!⋅(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)=limk→+∞kn⋅k!(k+n)!=1lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot(k+n)}=1\\= lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{k!\cdot (k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot(k+n)}=\\ lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(k+n)!}=1 limk→+∞(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)kn=1=limk→+∞k!⋅(k+1)(k+2)⋅⋅⋅(k+n)kn⋅k!=limk→+∞(k+n)!kn⋅k!=1
所以
n!=n!⋅limk→+∞kn⋅k!(n+k)!=limk→+∞kn⋅k!⋅n!(n+k)!=limk→+∞kn⋅k!(n+1)(n+2)...(n+k)n!=n! \cdot lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}=\\lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!\cdot n!}{(n+k)!}=\\ lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)}n!=n!⋅limk→+∞(n+k)!kn⋅k!=limk→+∞(n+k)!kn⋅k!⋅n!=limk→+∞(n+1)(n+2)...(n+k)kn⋅k!
【3】对数积分表达式的指数形式
证明当sss为正整数nnn时，
∫01(−lnt)sdt=∫0+∞use−udu\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{0}^{+\infty}u^se^{-u}du∫01(−lnt)sdt=∫0+∞use−udu
首先令u=−lntu=-ln tu=−lnt，有：du=−1tdtdt=−tdut=e−udu=-\frac{1}{t}dt\\ dt=-tdu \\t=e^{-u}du=−t1dtdt=−tdut=e−u
此时被积函数变换为：
(−lnt)s=us(-lnt)^s=u^s(−lnt)s=us
当t→0+t\rightarrow 0^+t→0+时，u=−lnt=+∞u=-lnt=+\inftyu=−lnt=+∞
当t→1t\rightarrow 1t→1时，u=−lnt=0u=-lnt=0u=−lnt=0
将上述变换代入积分式：
∫01(−lnt)sdt=∫+∞0us(−t)du=∫+∞0us(−eu)du=∫0+∞use−udu\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{+\infty}^{0}u^s(-t)du=\\ \int_{+\infty}^{0}u^s(-e^u)du=\int_{0}^{+\infty}u^se^{-u}du∫01(−lnt)sdt=∫+∞0us(−t)du=∫+∞0us(−eu)du=∫0+∞use−udu
【4】阶乘和指数形式的积分表达式相等
当sss为正整数nnn时，积分先写作：
∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu
令v=un,dw=e−uduv=u^n,dw=e^{-u}duv=un,dw=e−udu，有：
dv=nun−1du,w=−e−udv=nu^{n-1}du,w=-e^{-u}dv=nun−1du,w=−e−u
此时积分式转化为：
∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu=∫0+∞vdw=vw∣0+∞−∫0+∞wdv=(un(−e−u))∣0+∞+∫0+∞nun−1e−udu=0+∫0+∞nun−1e−udu=n∫0+∞un−1e−udu\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du=\\ \int_{0}^{+\infty}vdw=vw|_{0}^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty}wdv=\\ (u^n(-e^{-u}))|_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}nu^{n-1}e^{-u}du=\\ 0+\int_{0}^{+\infty}nu^{n-1}e^{-u}du=n\int_{0}^{+\infty}u^{n-1}e^{-u}du∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu=∫0+∞vdw=vw∣0+∞−∫0+∞wdv=(un(−e−u))∣0+∞+∫0+∞nun−1e−udu=0+∫0+∞nun−1e−udu=n∫0+∞un−1e−udu
这时候先暂停一下，根据前述推导有：
∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu=n∫0+∞un−1e−udu\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du=n\int_{0}^{+\infty}u^{n-1}e^{-u}du∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu=n∫0+∞un−1e−udu按照这个形式，会有：
∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu=n∫0+∞un−1e−udu=n(n−1)∫0+∞un−2e−udu=...=n(n−1)...2∫0+∞u1e−udu=n(n−1)...2⋅1∫0+∞u0e−udu=n!\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du=n\int_{0}^{+\infty}u^{n-1}e^{-u}du=\\ n(n-1)\int_{0}^{+\infty}u^{n-2}e^{-u}du=...=\\ n(n-1)...2\int_{0}^{+\infty}u^{1}e^{-u}du=\\ n(n-1)...2\cdot 1\int_{0}^{+\infty}u^{0}e^{-u}du=n!∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu=n∫0+∞un−1e−udu=n(n−1)∫0+∞un−2e−udu=...=n(n−1)...2∫0+∞u1e−udu=n(n−1)...2⋅1∫0+∞u0e−udu=n!至此可知，当sss为正整数nnn时，
∫01(−lnt)sdt=s!\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=s!∫01(−lnt)sdt=s!
【5】说明
实际上这里展示了两种阶乘表达式：
n!=limk→+∞kn⋅k!(n+1)(n+2)...(n+k)n!=lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{k^n\cdot k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)}n!=limk→+∞(n+1)(n+2)...(n+k)kn⋅k!
∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu=s!(s为整数，用n代表整数)\int_{0}^{1}(-lnt)^sdt=\int_{0}^{+\infty}u^ne^{-u}du=s!(s为整数，用n代表整数)∫01(−lnt)sdt=∫0+∞une−udu=s!(s为整数，用n代表整数)
【6】总结
学习了伽马函数的推导过程。