基础算法之二分算法 --- 1

大家好，很高兴再次见到各位。接下来我将更新一些较为简单但是很常用的算法，这一部分我将更新有关二分算法的有关内容。

现在就让我们开始对于二分算法的学习吧！

let's go!

前言

大家如果看见前面的基础算法不要觉得就非常简单，可以不用好好学。学习这个部分要有一个认知，基础 ≠ 简单！

基础只是说明了这个算法的使用范围比较广，是我们学习其他算法的一个基础。但是不代表它的题很简单。

一、二分算法初识

我们首先从一道题目来引出二分算法：

题目如下：

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）

题目给出一个非递减排列的数组，让我们在其中找到目标值target的开始位置和结束位置。

还要求时间复杂度到达O(log N)

数组是有序的，我们可以通过target将数组分为两部分

当我们的解具有二段性的时候，就可以使用二分算法来解决

根据待查找的区间中点位置，分析答案出现在哪一侧，接下来舍弃一半，去可能出现答案的另一半查找

下面就是这道题的一个代码：

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {if (nums.size() == 0) return {-1, -1};int left = 0, right = nums.size() - 1;//左端点while(left < right){int mid = (left + right) / 2;if (nums[mid] >= target) right = mid;else left = mid + 1;}if (nums[left] != target){return {-1, -1};}int retleft = left;left = 0, right = nums.size() - 1;//右端点while (left < right){int mid = (left + right + 1) / 2;if (nums[mid] > target) right = mid - 1;else left = mid;}return {retleft, left};}
};

二分模版

在二分算法这里，网上有着很多的模版，博主在这里有两个模版：

//⼆分查找区间左端点
int l = 1, r = n;
while(l < r)
{int mid = (l + r) / 2;if(check(mid)) r = mid;else l = mid + 1;
}//⼆分结束之后可能需要判断是否存在结果

//⼆分查找区间右端点
int l = 1, r = n;
while(l < r)
{int mid = (l + r + 1) / 2;if(check(mid)) l = mid;else r = mid - 1;
}//⼆分结束之后可能需要判断是否存在结果

这个模版在mid位置是否加1是很重要的，关于是否加1可以通过下面的if else中有没有-1

如果下面有-1那么就写+1

模版这里并不是很重要，我们重要的是去理解它

通过前面那道题我们理解一下：

我们要查找这个数，我们就通过二分去查找，如果需要是起始位置的那个数，我们就要让最后left和right相交的位置抵达那里。

就使用了+1的那个模版，因为这样如果nums[mid]大于等于目标值的都被right去当做查找区间的右端点。当nums[mid]小于目标值的时候，left永远向后走，这样就会导致left遇见那个目标值后就不会往后了，这样right和left相遇就是左端点。

同理：找右端点那个也是如此。

时间复杂度

每次二分都会去掉一半的查找区间，时间复杂度为：O(log N)

模版记忆方式

1.不要死记硬背，将算法原理搞清楚，根据题目自然可以写出对应的

2.仅需记住一点，if/else中出现中出现-1 的时候，求mid的时候+1就够了。

STL中的二分查找

头文件：<algorithm>

1.lower_bound：大于等于x的最小元素，返回的是迭代器。时间复杂度：O(log N)

2.upper_bound：大于x的最小元素，返回的是迭代器。时间复杂度：O(log N)

这个STL的二分查找局限性比较大，后面讲的二分答案就不能使用了，因此还是要好好学习二分算法的模版。

二、题目介绍

接下来的这三道题目大家可以自己去尝试解决一下

当学习完这三道题后，大家就会对于二分算法理解起来更加清晰！

牛可乐和魔法封印

P1102 A-B 数对 - 洛谷

P1678 烦恼的高考志愿 - 洛谷

三、牛可乐和魔法封印

题目展示：

题目分析：

这道题在一个有序数列中查找两个数范围中数的个数，这是和前面那道题很相似的。

我们思路就是通过二分查找到对应的一个下标位置，然后通过下标位置来计算出来在中间的数字的个数。

找到xi数的起始位置和yi的终止位置然后通过减法就可以拿到答案了

还有要注意二分完的最终结果是不是我们想要的答案

代码展示：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];
int n;
int binary_search(int x, int y)
{//查找x的左端点int l = 1, r = n;while(l < r){int mid = (l + r) / 2;if (a[mid] >= x) r = mid;else l = mid + 1; }//判断查找的结果if (a[l] < x) return 0;//如果没有大于等于x的返回0 int left = l;//查找y的右端点 l = 0, r = n;while(l < r){int mid = (l + r + 1) / 2;if (a[mid] <= y) l = mid;else r = mid - 1;}if (a[l] > y) return 0;//如果没有小于等于y的返回0int right = l;return right - left + 1;	 
}
int main()
{//输入 cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];}int q; cin >> q;while(q--){//q次询问int x, y;cin >> x >> y;cout << binary_search(x, y) << endl;//输出x y中间的数字个数 }return 0;
}

大家会发现这道题和前面的那道题是很相似的，可以好好理解一下，代码难度不大

四、A-B数对

题目展示：

题目分析：

看完题目后，我们可以知道要通过一个C来查找有多少对A、B来满足A - B = C

可以将它理解为B = A - C

枚举数组中的数来作为A，然后在数组中查找为B的数有多少个即可

通过二分查找A有多少个即可了。但是题目没有说它为有序啊？

那可以先将这个数组进行排序，排完序后就可以通过二分来解决了。

其中的数都是大于0的，所以b = a - c > 0 --- a > b

我们查找b的个数都是在1 ~ i里面(i为a的下标）

当然我们还可以将它当做A = B + C来解答

只是，这样相较于前面那种可能要慢点，因为要枚举A的话需要在整个数组来枚举

大家要注意的问题是：数据的大小，数据很大了，避免出现问题，要使用long long 类型来帮助我们！！！

代码展示：

//B = A - C
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e5 + 10;
int n;
LL a[N];
LL c;
int main()
{cin >> n >> c;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];sort(a + 1, a + 1 + n);//排成升序LL ret = 0;for (int i = 2; i <= n; i++){LL b = a[i] - c;//b = a - c > 0 --- a > b //查找b的个数,b在1 ~ i里面 ret += upper_bound(a + 1, a + i, b) - lower_bound(a + 1, a + i, b);}cout << ret << endl;return 0;
}

//A = B + C
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e5 + 10;
int n;
LL b[N];
LL c;
int main()
{cin >> n >> c;for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];sort(b + 1, b + 1 + n);//排成升序LL ret = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){LL a = b[i] + c;ret += upper_bound(b+1, b+1+n, a) - lower_bound(b+1, b+1+n, a);}cout << ret << endl;return 0;
}

五、烦恼的高考志愿

题目展示：

题目分析：

这道题中，我们有着学校的分数和学生的考分，通过学生的考分去找到和学生考分相近的学校分数作为自己的估分，这样估分的不满意度就是最小的了。

那么在这道题中在学校分数中查找和学生分数最相近的学校即可。

那么二分算法就可以使用了

那么就要将学校的分数进行排序，当排成升序后，我们查找大于等于该考生的分数的学校下标pos

就可以通过pos - 1找到小于该考生分数的最大分数的学校

这样，就只需要进行一次二分查找即可

注意下面的ret要使用long long 因为加加之后会超过int的范围

代码展示：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int a[N];
int n, m;
int find(int x)
{int l = 1, r = n;while(l < r){int mid = (l + r) / 2;if (a[mid] >= x) r = mid;else l = mid + 1;}return l;
}
int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];//学校 }sort(a + 1, a + 1 + n);a[0] = -1e7;long long ret = 0;for (int i = 1; i <= m; i++){int b; cin >> b;//学生分数 //查找学校最接近的分数int pos = find(b);ret += min(abs(a[pos] - b), abs(a[pos - 1] - b));}cout << ret <<endl;return 0;
}

结语

希望这篇文章对大家能够有所帮助，后续会更新有关二分答案的内容，可以关注博主。博主持续更新中！

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