自底向上了解CPU的运算

引言

本文将从CPU演变的视角逐步推进说明CPU演进过程，同时也会针对计算机数学运算过程中一些常见的错误细节进行探讨。

CPU如何实现逻辑运算

NMOS和PMOS

CPU是由晶体管构成，在逻辑上我们一般会将其通过电路符号进行抽象，即分为如下三个连接端：

1. 栅级(gate)
2. 源极(source)
3. 漏极(drain)

基于NMOS而言，从语义上来理解，它是消极的MOS管(N即negative)，所以它的电流是逆流而上的，这也就是为什么下图中寄生二极管(即右边的箭头)的朝向是由源极(S)到漏极(D)即通过这样的导向避免漏极电流无条件从漏极流向源极，从N的语义上理解，因为电流是消极的流向，所以输出电流也必须付出更大的努力才能导通电源，所以NMOS的规范为：

1. 当输入二进制1时，栅极闭合，电路导通，电流从漏极流向源极
2. 当输入二进制00时，栅极电源断开，电路无法导通

PMOS反之，可以看到寄生二极管从漏极指向源极避免源极无条件流向漏极，因为PMOS是积极的(P即positive)，即无需过多努力即可导通电源，所以其电路运行机制为：

1. 当输入0时，栅极闭合，电路直接导通，从源极直接流向漏极
2. 当输入1，栅极断开，电路无法导通

基于MOS管组合下的逻辑门运算

基于上述电路符号的基础上，我们将二者结合，NMOS接地、PMOS接电源，试想这样我们输入数字1：

1. 对于NMOS电源导通，输出端Y导通，接地连同
2. 对于PMOS电源断开，与电源端断开
3. 最终没有亮起输出0

同理，我们不妨再尝试输入0：

1. 对于NMOS电源断开
2. 对于PMOS电源导通
3. 电源端导通，输出1

由此可知，输出结果与输入结果相反，就生成二进制中的非运算，而上述的组合我们也称之为非门。同理，设计者们基于NMOS和PMOS这两种晶体管搭建出各种各样的门电路：

1. 与门
2. 或门
3. 非门
4. 与非门
5. 或非门
6. 异或门
7. …

逻辑运算下运算的实现

基于逻辑门的基础，我们开始推进计算机运算的步骤，我们都知道计算机是二进制语言，对应我们以加法为例，对应的运算为：

1. 0+0=0 即二进制的00+00，最终输出二进制结果为00
2. 0+1=1 即二进制中的00+01，最终输出二进制结果为01
3. 1+1=2 即二进制中的01+01，最终输出二进制结果为10

最终我们将这些数字的二进制运算转为换下图所示的表格，我们以1+1为例，可以看到输出二进制结果为10，对应的低位为0，而进位为1，由此得出10。

我们从最基础的规律抓起，可以看到低位的0本质上不就是异或运算：

1. 第一行低位的0本质上就是 0^0，对应输出0
2. 第一行低位的0本质上就是 0^1，对应输出1
3. 第一行低位的0本质上就是 1^1，对应输出0

然后我们就需要考虑另一个问题，即进位问题，经过推理发现本质上就是按位与，同样结合表格可以看出，对应的进位本质上就是低位运算的按位与：

1. 第一行低位的0本质上就是 0&0，对应输出0
2. 第一行低位的0本质上就是 0&1，对应输出0
3. 第一行低位的0本质上就是 1&1，对应输出1

最终我们完成低位的加法运算推导过程，即通过：

1. 异或门计算低位和
2. 与门计算进位

对应的我们将上述的逻辑视图换成如下符号表示，读者可结合图片中的语义自行理解：

但是我们加法中还是涉及一些高位累加的，例如15+9对应9+5的进位就需要参与到高位的运算中，所以说我们目前的加法器只是一个简单的半加法器。

关于二进制进位的运算，通过低位进位和高位和进行按位或解决，我们试想3+3j即二进制的11和11相加，对应的换算步骤为：

1. 低位两个1使用半加器算得和为0、进位1。
2. 高位两个1使用半加器算得和为0、进位1。
3. 因为低位有个进位1，也就是10对应高位的和，两者进行按位或得到1。
4. 结合低位和0，高位和和低位进位按位或得到1，高位进位1，得到二进制110也就是6：

同理我们再演示一下2+2也就是二进制10和10相加：

1. 低位算得和0进位也为0
2. 高位算得和为0进位为1
3. 低位进位0和高位和0按位或得0
4. 结合低位0、高位和与低位进位0算法低2位为0，高位进位为1即100
5. 最终结果为4

通过这种运算，我们推理出全加法器，在此基础上，串联无数个全加法器生成更高进位的加法运算。