最长递增子序列（LIS）的 DFS 解法详解与实现
题目描述
给定一个整数数组（如 [10,9,2,5,3,7,101,18]），计算其最长递增子序列的长度。其中，子序列不要求连续，仅需满足元素严格递增的顺序即可。
例如：
- 输入数组
[10,9,2,5,3,7,101,18] - 最长递增子序列可为
[2,3,7,18]或[2,5,7,101] - 输出结果：
4
解题思路：深度优先搜索（DFS）
核心思想
最长递增子序列的本质是 “在每个元素位置做选择”——选当前元素（若满足递增条件，子序列长度 + 1）或不选当前元素（子序列长度不变）。通过深度优先搜索遍历所有可能的选择，记录其中的最大长度，即可得到答案。
关键参数设计
我们设计 dfs 函数包含三个核心参数，清晰描述当前搜索状态：
i：当前遍历到的数组索引（表示 “正在处理第i个元素”）last：上一个被选入子序列的元素值（用于判断当前元素是否满足 “递增” 条件）len：当前子序列的长度（实时记录当前路径的子序列长度）
递归逻辑
- 更新最大长度：每次进入递归函数，先判断当前子序列长度是否超过历史最大值，若超过则更新结果。
- 终止条件：当
i >= nums.size()时（遍历完所有元素），直接返回，结束当前递归分支。 - 选择 1：选当前元素：若
nums[i] > last（满足递增），则递归处理下一个元素，此时last更新为nums[i]，len加 1。 - 选择 2：不选当前元素：无论是否满足递增，都可跳过当前元素，递归处理下一个元素，
last和len保持不变。
完整代码实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 全局变量：存储输入数组和最终结果（最长递增子序列长度）
vector<int> nums;
int result = -1; // 初始化为-1，避免数组为空时逻辑错误/*** 深度优先搜索函数：遍历所有可能的子序列，计算最长递增子序列长度* @param i 当前遍历到的数组索引* @param last 上一个被选入子序列的元素值* @param len 当前子序列的长度*/
void dfs(int i, int last, int len) {// 每次递归先更新最大长度（确保所有可能的子序列长度都被考虑）if (result < len) {result = len;}// 终止条件：遍历完所有元素，结束当前分支if (i >= nums.size()) {return;}// 选择1：选当前元素（需满足递增条件）if (nums[i] > last) {dfs(i + 1, nums[i], len + 1);}// 选择2：不选当前元素（无论是否满足递增，都可跳过）dfs(i + 1, last, len);
}int main() {// 读取输入数组（支持空格分隔，回车结束输入）int a;cout << "请输入整数数组（空格分隔，回车结束）：";while (cin >> a) {nums.push_back(a);// 检测到回车时停止输入if (cin.peek() == '\n') {break;}}// 初始调用DFS：从索引0开始，last初始为-1（表示暂无选中元素），初始长度为0dfs(0, -1, 0);// 输出结果cout << "最长递增子序列的长度为：" << result << endl;return 0;
}代码测试与验证
测试用例 1：常规数组
- 输入：
10 9 2 5 3 7 101 18 - 输出：
4 - 说明：最长递增子序列为
[2,3,7,18]或[2,5,7,101]，长度均为 4。
测试用例 2：空数组
- 输入：（直接回车）
- 输出：
0 - 说明：空数组无元素，最长子序列长度为 0（代码中
result初始为 - 1，但递归初始调用len=0会更新result为 0）。
测试用例 3：递减数组
- 输入：
5 4 3 2 1 - 输出：
1 - 说明：递减数组的最长递增子序列为单个元素，长度为 1。
测试用例 4：递增数组
- 输入：
1 2 3 4 5 - 输出：
5 - 说明：完整数组即为最长递增子序列，长度为 5。
算法分析
时间复杂度
- 复杂度：
O(2^n)，其中n为数组长度。 - 原因：每个元素有 “选” 和 “不选” 两种选择，递归会生成
2^n个分支（实际因递增条件会减少部分分支，但最坏情况仍为O(2^n)）。
空间复杂度
- 复杂度：
O(n)。 - 原因：递归深度等于数组长度（最坏情况需遍历所有元素才终止），栈空间占用为
O(n)；无额外辅助空间（全局变量不计入算法额外空间）。
优缺点与优化方向
优点
- 逻辑直观：直接模拟 “选或不选” 的决策过程，易于理解和实现。
- 无需预处理：直接对原始数组递归，代码简洁。
缺点
- 效率较低：
O(2^n)的时间复杂度在n > 20时会明显超时，无法处理大规模数组。
优化方向
若需处理更大规模的数组（如 n > 1000），可改用以下更高效的算法：
- 动态规划（DP）：时间复杂度
O(n^2)，空间复杂度O(n)（定义dp[i]为以nums[i]结尾的最长递增子序列长度）。 - 贪心 + 二分查找：时间复杂度
O(n log n)，空间复杂度O(n)（维护一个 “最小递增序列”，用二分查找优化更新过程）。
总结
本文通过深度优先搜索（DFS）实现了最长递增子序列的求解，核心是遍历 “选或不选” 的所有可能分支，记录最大子序列长度。该方法逻辑清晰，适合理解 LIS 问题的本质，但受限于 O(2^n) 的时间复杂度，仅适用于小规模数组。若需处理大规模数据，建议进一步学习动态规划或贪心 + 二分查找的优化方案