洛谷 P2568 GCD-提高+/省选−

题目描述

给定正整数 $n$，求 $1\le x,y\le n$ 且 $\gcd (x,y)$ 为素数的数对 $(x,y)$ 有多少对。

输入格式

只有一行一个整数，代表 $n$。

输出格式

一行一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

4

输出 #1

4

说明/提示

样例输入输出 1 解释

对于样例，满足条件的 $(x,y)$ 为 $(2,2)$，$(2,4)$，$(3,3)$，$(4,2)$。

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数据规模与约定

• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 10^7$。

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来源：bzoj2818。

本题数据为洛谷自造数据，使用 CYaRon 耗时 $5$ 分钟完成数据制作。

solution

• 若 gcd(x,y) = p 则 x，y 均为 p 的倍数，且其余部分互质。
  • 1 若 $x=p\ast p_x,[1,p_x]$ 中和 $p_x$ 互质的有 $\varphi (x)$ 个(欧拉函数)，即
    $$\sum _{p<=n}\sum _{i=1}^{n/p}(\varphi (i)\ast 2-1)$$
  • 2 例如 $n=4时，p=2,[\varphi (1)+\varphi (2)]\ast 2-1=3。p=3,\varphi (1)\ast 2-1=1$
• 具体：
  • 1 筛选出质数 p, 并算出 $\varphi (i),i\in [1,n]$
  • 2 遍历质数，统计个数

代码

#include "cstring"
#include "string"
#include "algorithm"
#include "iostream"
#include "vector"
#include "unordered_set"
#include "unordered_map"
#include "bitset"
#include "queue"
#include "set"using namespace std;/**  P2568 GCD*  题目大意：给定正整数 n，求 1≤x,y≤n 且 gcd(x,y) 为素数的数对 (x,y) 有多少对。*  思路: 若 gcd(x,y) = p 则 x，y 均为 p 的倍数，且其余部分互质。*  1 若 x = p * px, [1, px] 中和 px 互质的有 phi(x) 个，即 sum(p, sum(phi(px))*2-1) i=[1,n/p]*  2 例如 n = 4,  p = 2  [phi(1) + phi(2)] * 2-1 = 3   p = 3 phi(1)*2 - 1 = 1*  具体：*  1 筛选出质数p, 并算出 phi(i) i=1,n*  2 遍历质数，统计个数**/const int N = 1e7 + 5, M = 2e6, INF = 1e9, MOD = 0;
typedef long long ll;int prime[N], n, k, f[N], np[N];int main() {cin >> n;// 1 筛选出 n 以内所有质数, 和欧拉函数 f[x]f[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {if (!np[i]) prime[++k] = i, f[i] = i - 1;else f[i] = (i / np[i] % np[i] == 0) ? f[i / np[i]] * np[i] : f[i / np[i]] * (np[i] - 1);for (int j = 1; j <= k && prime[j] * i <= n; j++) {np[i * prime[j]] = prime[j];if (i % prime[j] == 0) break;}}ll ans = 0;for (int i = 1; i <= k; i++) {for (int j = 1; j * prime[i] <= n; j++)ans += f[j] * 2;ans--;}cout << ans;return 0;
}

结果