数值分析离散积分近似求值

设数列an=f(n)
Sn = a1 + a2 +a3 +…+an=g(n)

由离散积分公式可得，f(x)从0到x+1的积分等于g(x)+g¹(x)/2！+g²(x)/3！+…gⁿ(x)/(n-1)！

即∫f(x)dx(从0积到x+1)=g(x)+g¹(x)/2！+g²(x)/3！+…gⁿ(x)/(n-1)！

当gⁿ(x)/(n-1)！是收敛的，可以采用二分级数逼近法
设
g(x)=∫f(x)dx(从0积到x+1) + c0f(x)+c1f¹(x)+c2f²(x)+…cnfⁿ(x)+…

从f⁻¹=∫f(x)dx(从0积到x+1) 开始
cn的取值范围是存在常数cn使得
fⁿ⁻¹(x)-cnfⁿ(x) <|fⁿ⁻¹(x)|，g的离散积分公式g(x)+g¹(x)/2！+g²(x)/3！+…gⁿ(x)/(n-1)！与∫f(x)dx(从0积到x+1)的差不超过所需精度
所以有以下两个不等式
第一 g正确的值-g预测的值 <fⁿ(x)

第二 正确的g(x)+g¹(x)/2！+g²(x)/3！+…gⁿ(x)/(n-1)！=∫f(x)dx(从0积到x+1)
⁻预测的g(x)+g¹(x)/2！+g²(x)/3！+…gⁿ(x)/(n-1)！< 需要的精度e

如果正确的g¹(x)/2！+g²(x)/3！+…gⁿ(x)/(n-1)！-预测的+g¹(x)/2！+g²(x)/3！+…gⁿ(x)/(n-1)！的绝对值小于等于e

所以 g正确的值-g预测的值 <fⁿ(x)<e

所以g

方法
首先确定积分精度fⁿ(x)，保证每个二分g(x)=cifⁱ(x)累加，使得精度小于fⁿ(x)
举例

xlnx累加求和，x从1到一百亿
积分函数为主级数
xlnx为一阶次级数
求导

先求导为二阶次级数lnx+1

三阶次级数为1/x

12阶次级数为1/x¹⁰

所以存在常数ci，使得|fⁱ⁻¹(x) ⁻ ci fⁱ(x)| 的积分 <fⁱ⁺¹(x)的积分