Leetcode+Java+动态规划IV

494.目标和

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 1000
• 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
• -1000 <= target <= 1000

原理

• 问题分解：
  • 转化为 0-1 背包问题：
    • 物品为 nums[i]，重量和价值均为 nums[i]。
    • 背包容量为 bagSize = (sum + target) / 2。
    • 目标是计算和为 bagSize 的子集方案数。
  • 定义 dp[j] 为和为 j 的子集方案数。
  • 状态转移：
    • 对于每个数字 nums[i]：
      • 不选：dp[j] 不变。
      • 选（需 j >= nums[i]）：dp[j] += dp[j - nums[i]]（累加方案数）。
  • 使用一维数组，从大到小遍历 j，确保 dp[j - nums[i]] 使用上一轮状态。
• 初始化：
  • dp[0] = 1：空子集和为 0，有 1 种方案。
  • 其他 dp[j] = 0（默认）。
• 边界条件：
  • 如果 |target| > sum，无解，返回 0。
  • 如果 (sum + target) % 2 == 1，无整数解，返回 0。
  • 如果 bagSize < 0，无解（由 |target| <= sum 保证）。
• 时间和空间复杂度：
  • 时间复杂度：O(n * bagSize)，n 为数组长度，bagSize <= (sum + target) / 2 <= 2000。
  • 空间复杂度：O(bagSize)，使用一维 DP 数组。

代码

class Solution {public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {// 计算总和int sum = 0;for (int num : nums) {sum += num;}// 检查边界条件if (Math.abs(target) > sum || (sum + target) % 2 == 1) {return 0;}// 计算背包容量int bagSize = (sum + target) / 2;// 创建 DP 数组int[] dp = new int[bagSize + 1];dp[0] = 1;// 遍历每个数字for (int num : nums) {if (num > bagSize) continue; // 跳过无效数字for (int j = bagSize; j >= num; j--) {dp[j] += dp[j - num];}}return dp[bagSize];}
}

474.一和零

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：

输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

提示：

• 1 <= strs.length <= 600
• 1 <= strs[i].length <= 100
• strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
• 1 <= m, n <= 100

原理

• 问题分解：
  • 定义 dp[j][k] 为在最多 j 个 0 和 k 个 1 的限制下，能选择的最大字符串数量（子集长度）。
  • 对于每个字符串（有 zeros 个 0 和 ones 个 1）：
    • 不选：dp[j][k] 不变。
    • 选（需 j >= zeros 且 k >= ones）：dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - zeros][k - ones] + 1)。
  • 状态转移：
    • dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - zeros][k - ones] + 1)。
• 初始化：
  • dp[0][0] = 0（无 0 和 1 时，子集长度为 0）。
  • 其他 dp[j][k] 默认初始化为 0（Java 数组默认值）。
• 遍历顺序：
  • 使用二维 DP 数组，需从大到小遍历 j 和 k，以避免覆盖上一轮的状态（类似一维 0-1 背包的逆序遍历）。
  • 每个字符串的 zeros 和 ones 通过遍历字符计算。
• 时间和空间复杂度：
  • 时间复杂度：O(L + N * m * n)，其中：
    • L 是 strs 中所有字符串的总长度（计算 zeros 和 ones，L <= 600 * 100 = 6 * 10^4）。
    • N 是字符串数量（N <= 600），m * n 是 DP 数组遍历的次数（m, n <= 100）。
  • 空间复杂度：O(m * n)，使用 m+1 * n+1 的 DP 数组。

代码

class Solution {public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {// 创建二维 DP 数组int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];// 预计算每个字符串的 0 和 1 数量int[] zeros = new int[strs.length];int[] ones = new int[strs.length];for (int i = 0; i < strs.length; i++) {for (char c : strs[i].toCharArray()) {if (c == '0') zeros[i]++;else ones[i]++;}}// 遍历每个字符串for (int i = 0; i < strs.length; i++) {if (zeros[i] > m || ones[i] > n) continue;// 从大到小遍历for (int j = m; j >= zeros[i]; j--) {for (int k = n; k >= ones[i]; k--) {dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j - zeros[i]][k - ones[i]] + 1);}}}return dp[m][n];}
}

完全背包理论基础

题目描述
小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的重量，并且具有不同的价值。

小明的行李箱所能承担的总重量是有限的，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料可以选择无数次，并且可以重复选择。

输入描述
第一行包含两个整数，n，v，分别表示研究材料的种类和行李所能承担的总重量 

接下来包含 n 行，每行两个整数 wi 和 vi，代表第 i 种研究材料的重量和价值

输出描述
输出一个整数，表示最大价值。
输入示例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出示例
10
提示信息
第一种材料选择五次，可以达到最大值。

数据范围：

1 <= n <= 10000;
1 <= v <= 10000;
1 <= wi, vi <= 10^9.

原理

• 问题分解：
  • 定义 dp[i][j] 为前 i 种物品（索引 0 到 i-1）在容量 j 下的最大价值。
  • 状态转移：
    • 不选第 i-1 种物品：dp[i][j] = dp[i - 1][j]。
    • 选第 i-1 种物品（可多次）：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i-1]] + value[i-1])。
  • 合并为：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i-1]] + value[i-1])（if j >= weight[i-1]）。
• 初始化：
  • dp[0][j] = k * value[0]，其中 k = j / weight[0]（第一种物品可重复选择）。
  • dp[i][0] = 0（容量为 0，价值为 0）。
• 一维 DP 优化：
  • 由于每种物品可重复选择，可以用一维数组 dp[j]，表示容量 j 下的最大价值。
  • 状态转移：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])（if j >= weight[i]）。
  • 遍历 j 从小到大（与 0-1 背包相反），因为需要使用当前物品的最新状态。
• 时间和空间复杂度：
  • 二维 DP：
    • 时间复杂度：O(n * v)，遍历 n 种物品和 v 个容量。
    • 空间复杂度：O(n * v)。
  • 一维 DP：
    • 时间复杂度：O(n * v)。
    • 空间复杂度：O(v)。

代码

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);// 读取种类 n 和容量 vint n = scanner.nextInt();int v = scanner.nextInt();// 创建数组存储重量和价值int[] weight = new int[n];long[] value = new long[n]; // 使用 long 存储价值// 读取输入for (int i = 0; i < n; i++) {weight[i] = scanner.nextInt();value[i] = scanner.nextLong();}// 创建二维 DP 数组long[][] dp = new long[n][v + 1];// 初始化第一种物品for (int j = 0; j <= v; j++) {dp[0][j] = (j / weight[0]) * value[0]; // 尽量多次选择第一种物品}// 动态规划for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j <= v; j++) {// 不选第 i 种物品dp[i][j] = dp[i - 1][j];// 选第 i 种物品（可多次）if (j >= weight[i]) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);}}}System.out.println(dp[n - 1][v]);scanner.close();}
}

518.零钱兑换II

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。 

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1

提示：

• 1 <= coins.length <= 300
• 1 <= coins[i] <= 5000
• coins 中的所有值 互不相同
• 0 <= amount <= 5000

原理

• 问题分解：
  • 定义 dp[j] 为凑成金额 j 的组合数。
  • 状态转移：
    • 对于每种硬币 coins[i]：
      • 不使用该硬币：dp[j] 不变。
      • 使用该硬币（需 j >= coins[i]）：dp[j] += dp[j - coins[i]]（累加组合数）。
  • 遍历 j 从小到大（完全背包特性），因为需要使用当前硬币的最新状态。
• 初始化：
  • dp[0] = 1：金额 0 有 1 种组合（空组合）。
  • 其他 dp[j] = 0（默认）。
• 时间和空间复杂度：
  • 时间复杂度：O(n * amount)，遍历 n 种硬币，每种硬币检查最多 amount 个金额。
  • 空间复杂度：O(amount)，使用一维 DP 数组。
• 数据范围：
  • 1 <= coins.length <= 300
  • 1 <= coins[i] <= 5000
  • 0 <= amount <= 5000
  • 结果符合 32 位带符号整数（2^31 - 1 ≈ 2.1 * 10^9）。

代码

class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {// 创建一维 DP 数组int[] dp = new int[amount + 1];// 初始化：金额 0 有 1 种组合dp[0] = 1;// 遍历每种硬币for (int coin : coins) {// 从 coin 开始遍历金额for (int j = coin; j <= amount; j++) {dp[j] += dp[j - coin];}}return dp[amount];}
}