leetcode_189 轮转数组

1. 题意

给定一个整数数组 nums，将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数。

2. 题解

2.1 开一个数组

由于我比较笨比，所以只能想到这种办法。

当前位置为$i$，那么它将移动到$(i+k)\%n$的位置上去。

class Solution {
public:void rotate(vector<int>& nums, int k) {int n = nums.size();vector<int> tmp = nums;for (int i = 0;i < n; ++i) {tmp[ (i + k) % n] = nums[i];}nums = tmp;}
};

除此之外，我还能想到的就是，既然是向右移$k$位，那么实际上相当于

把最后的$k$位的数给移动到前面来，而这也是反转法的一个前提，不过

我没有想到反转的这一做法，而是直接这样移动。因此空间复杂度仍然是$O(n)$。

class Solution {
public:void rotate(vector<int>& nums, int k) {int n = nums.size();k %= n;if ( k ) {for (int i = 0; i < n - k; ++i) {nums.emplace_back( nums[i]);}nums.erase(nums.begin(), nums.begin() + n - k);}}
};

要注意的一点是$k$城对$n$取余。

2.2 环状替换

这个其实是比较数学的做法，涉及到最大公约数最小公倍数。

对于$0\to n-1$任意一个位置来说，它每次可以跳$k$步，

它最少需要跳几次才能回到原来的位置呢？

我们假设需要跳$b$次，同时假设跳了$a$圈，那么我们容易得到

$$an=bk$$

我们知道$n\mid an$且$k\mid an$，也就是$an$同时是$n,k$的倍数，那么

必然有$lcm(n,k)\mid an$，由于要尽可能的让$an$小，

因此$an=lcm(n,k)$。

进而我们可以得到

$$b=\frac{lcm(n,k)}{k}$$

根据最大公因数和最小公倍数之间的关系
$$\frac{nk}{\gcd (n,k)}=\mathrm{lcm}(n,k)$$
代入得到
$$b=\frac{n}{\gcd (n,k)}$$

由于一个位置需要跳$b$次才能回到原来位置，又因为这是个环所以

跳跃的次数就是这个环的元素个数。一个环有$b=\frac{n}{\gcd (n,k)}$个

元素，因此环的个数就是$\frac{n}{b}=\gcd (n,k)$。这个环的个数也就是

代码中的$count$。

class Solution {
public:int gcd(int a, int b) {return b == 0 ? a : gcd( b, a % b);}void rotate(vector<int>& nums, int k) {int n = nums.size();k %= n;int cnt = gcd(n, k);for (int i = 0;i < cnt; ++i) {int st = i;for (int j = 1;j  < n / cnt; ++j) {int next_pos = (st + j * k) % n;std::swap( nums[st], nums[next_pos]);}}}
};

还有一个问题，当$start$所在的环遍历完了之后，

为什么$start+1$就是下一个环了呢？

$start$所在环不会已经遍历过$start+1$这个位置了吗？

我们假设存在这样一种情况，那么必然有
$$\begin{gathered} start+mk\equiv start+1(\mathrm{mod}n) \\ mk\equiv 1(\mathrm{mod}n) \end{gathered}$$

那么$\gcd (n,k)=1$，而这与$start+1$的存在性是矛盾的。

因此不会存在这种情况。

2.3 反转数组

令$+$表示数组的拼接操作，

用$R(Arr)$表示将数组反转这一操作。

我们容易得到

$$\begin{gathered} R(A+B)=R(B)+R(A) \\ R(R(A))=A \end{gathered}$$

这两种性质

对于循环右移$k$位这种操作，实际上可以通过反转来实现。

我们令$A$ 表示$nums$中的前$n-k$个数依次序组成的数组，

$B$表示$nums$中后$k$个数依次组成的数组。

实际上我们就是要通过反转将

$A+B\to B+A$。

根据上面的性质，我们可以很容易的通过三次反转得到最终的结果。

class Solution {
public:void rotate(vector<int>& nums, int k) {int n = nums.size();k %= n;reverse(nums.begin(), nums.end());reverse(nums.begin(), nums.begin() + k);reverse(nums.begin() + k, nums.end());}
};

时间复杂度$O(2n)=O(n)$

空间复杂度$O(1)$

3. 参考

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