高等数学 9.1多元函数的基本概念

一、平面点集 *$n$ 维空间

1.平面点集

由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个平面直角坐标系后，平面上的点 $P$ 与有序二元实数组 $(x,y)$ 之间就建立了一一对应。于是，我们常把有序实数组 $(x,y)$ 与平面上的点 $P$ 视作是等同的。这种建立了坐标系的平面称为坐标平面。二元有序实数组 $(x,y)$ 的全体，即 ${\mathbb{R}}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}=\{(x,y)|x,y\in \mathbb{R}\}$ 就表示坐标平面。

坐标平面上具有某种性质 $P$ 的点的集合，称为平面点集，记作
$$E=\{(x,y)|(x,y)具有性质P\}.$$
例如，平面上以原点为中心、$r$ 为半径的圆内所有的点的集合是
$$C=\{(x,y)|x^2+y^2<r\}.$$
如果以点 $P$ 表示 $(x,y)$ ，$|OP|$ 表示点 $P$ 到原点 $O$ 的距离，那么集合 $C$ 也可以表成
C={P∣∣OP∣<r}C = \{ P | |OP| < r \} C={P∣∣OP∣<r}
现在引入 ${\mathbb{R}}^2$ 中邻域的概念。

设 $P_0(x_0,y_0)$ 是 $xOy$ 平面上的一个点，$\delta$ 是某一正数。与点 $P_0(x_0,y_0)$ 距离小于 $\delta$ 的点 $P(x,y)$ 的全体，称为点 $P_0$ 的 $\delta$ 邻域 ，记作 $U(P_0,\delta )$ ，即
U(P0,δ)={P∣∣PP0∣<δ},U(P_0, \delta) = \{ P | |PP_0| < \delta \}, U(P0​,δ)={P∣∣PP0​∣<δ},
也就是
$$U(P_0,\delta )=\{(x,y)|\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta \}.$$
点 $P_0$ 的去心 $\delta$ 邻域，记作 $\mathring{U}(P_0,\delta )$ ，即
U˚(P0,δ)={P∣0<∣PP0∣<δ}\mathring{U} (P_0, \delta) = \{ P | 0 < |PP_0| < \delta \} U˚(P0​,δ)={P∣0<∣PP0​∣<δ}
在几何上，$U(P_0,\delta )$ 就是 $xOy$ 平面上以点 $P_0(x_0,y_0)$ 为中心、$\delta >0$ 为半径的圆内部的点 $P(x,y)$ 的全体。

如果不需要强调领域的半径 $\delta$ ，则用 $U(P_0)$ 表示点 $P_0$ 的某个邻域，点 $P_0$ 的去心邻域记作 $\mathring{U}(P_0)$ 。

利用邻域来描述点和点集之间的关系。

任意一点 $P\in {\mathbb{R}}^2$ 与任意一个点集 $E\subset {\mathbb{R}}^2$ 之间必有一下三种关系中的一种：

（1）内点 ：如果存在点 $P$ 的某个邻域 $U(P)$ ，使得 $U(P)\subset E$ ，那么称 $P$ 为 $E$ 的内点（如图9-1中，$P_1$ 为 $E$ 的内点）；

（2）外点 ：如果存在点 $P$ 的某个邻域 $U(P)$ ，使得 $U(P)\cap E=\varnothing$ ，那么称 $P$ 为 $E$ 的外点（如图9-1中，$P_2$ 为 $E$ 的外点）；

（3）边界点 ：如果点 $P$ 的任一邻域内既含有属于 $E$ 的点，又含有不属于 $E$ 的点，那么称 $P$ 为 $E$ 的边界点（如图9-1中，$P_3$ 为 $E$ 的边界点）。

$E$ 的边界点的全体，称为 $E$ 的 边界 ，记作 $\partial E$ 。

$E$ 的内点必属于 $E$ ；$E$ 的外点必定不属于 $E$ ；而 $E$ 的边界点可能属于 $E$ ，也可能不属于 $E$ 。

任意一点 $P$ 与一个点集 $E$ 之间除了上述三种关系之外，还有另外一种关系，这就是聚点。

聚点 ：如果对于任意给定的 $\delta >0$ ，点 $P$ 的去心邻域 $\mathring{U}(P,\delta )$ 内总有 $E$ 中的点，那么称 $P$ 是 $E$ 的 聚点 。

由聚点的定义可知，点集 $E$ 的聚点 $P$ 本身，可以属于 $E$ ，也可以不属于 $E$ 。

例如，设平面点集
$$E=\{(x,y)|1<x^2+y^2⩽2\}.$$
满足 $1<x^2+y^2<2$ 的一切点 $(x,y)$ 都是 $E$ 的内点；满足 $x^2+y^2=1$ 的一切点 $(x,y)$ 都是 $E$ 的边界点，它们都不属于 $E$ ；满足 $x^2+y^2=2$ 的一切点 $(x,y)$ 也是 $E$ 的边界点，它们都属于 $E$ ；点集 $E$ 以及它的边界 $\partial E$ 上的一切点都是 $E$ 的聚点。

根据点集所属点的特征，再来定义一些重要的平面点集。

开集 ：如果点集 $E$ 的点都是 $E$ 的内点，那么称 $E$ 为开集。

闭集 ：如果点集 $E$ 的边界 $\partial E\subset E$ ，那么称 $E$ 为闭集。

例如，集合 $\{(x,y)|1<x^2+y^2<2\}$ 是开集；集合 $\{(x,y)|1⩽x^2+y^2⩽2\}$ 是闭集；而集合 $\{(x,y)|1<x^2+y^2⩽2\}$ 既非开集，也非闭集。

连通集 ：如果点集 $E$ 内任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于 $E$ ，那么称 $E$ 为连通集。

区域 （或 开区域）：连通的开集称为区域或开区域。

闭区域 ：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。

例如，集合 $\{(x,y)|1<x^2+y^2<2\}$ 是区域，而集合 $\{(x,y)|1⩽x^2+y^2⩽2\}$ 是闭区域。

有界集 ：对于平面点集 $E$ ，如果存在某一正数 $r$ ，使得
$$E\subset U(O,r)$$
其中 $O$ 是坐标原点，那么称 $E$ 为有界集。

无界集 ：一个集合如果不是有界集，就成这个集合为无界集。

例如，集合 $\{(x,y)|1⩽x^2+y^2⩽2\}$ 是有界闭区域，集合 $\{(x,y)|x+y>0\}$ 是无界开区域，集合 $\{(x,y)|x+y⩾0\}$ 是无界闭区域。

*2. $n$ 维空间

设 $n$ 为取定的一个正整数，我们用 ${\mathbb{R}}^n$ 表示 $n$ 元有序实数组 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 的全体所构成的集合，即

$${\mathbb{R}}^n=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \cdots \times \mathbb{R}\{(x_1,x_2,\cdots ,x_n)|x_i\in \mathbb{R},i=1,2,\cdots ,n\}.$$

${\mathbb{R}}^n$ 中的元素 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 有时也用单个字母 $\mathbf{x}$ 来表示，即 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ .当所有的 $x_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 都为零时，称这样的元素为 ${\mathbb{R}}^2$ 中的零元，记为 $0$ 或 $O$ 。在解析几何中，通过直角坐标系，${\mathbb{R}}^2$ （或 ${\mathbb{R}}^3$）中的元素分别与平面（或空间）中的点或向量建立一一对应，因而 ${\mathbb{R}}^n$ 中的元素 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 也称为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个点或一个 $n$ 维向量，$x_i$ 称为点 $x$ 的第 $i$ 个坐标或 $n$ 维向量 $\mathbf{x}$ 的第 $i$ 个分量。特别地，${\mathbb{R}}^2$ 中的零元 $0$ 称为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的坐标原点或 $n$ 维零向量。

为了在集合 ${\mathbb{R}}^n$ 中的元素之间建立联系，在 ${\mathbb{R}}^n$ 中定义线性运算如下：

设 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ ，$\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的任意两个元素，$\lambda \in \mathbb{R}$ ，规定

$$\begin{gathered} \mathbf{x}+\mathbf{y}=(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots ,x_n+y_n) \\ \lambda \mathbf{x}=(\lambda x_1,\lambda x_2,\cdots ,\lambda x_n). \end{gathered}$$

这样定义了线性运算的集合 ${\mathbb{R}}^n$ 称为 $n$ 维空间。

${\mathbb{R}}^n$ 中的点 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 和点 $\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$ 间的距离，记作 $\rho (\mathbf{x},\mathbf{y})$ ，规定

$$\rho (\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+\cdots +(x_n-y_n{)}^2}.$$

显然，$n=1,2,3$ 时，上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一致。

${\mathbb{R}}^n$ 中元素 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 与零元 $0$ 之间的距离 $\rho (\mathbf{x},0)$ 记作 $\Vert \mathbf{x}\Vert$ （在 ${\mathbb{R}}^1,{\mathbb{R}}^2,{\mathbb{R}}^3$ 中，通常将 $\Vert \mathbf{x}\Vert$ 记作 $|\mathbf{x}|$），即

$$\Vert \mathbf{x}\Vert =\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}.$$

采用这一记号，结合向量的线性运算，便得

$$\Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert =\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+\cdots +(x_n-y_n{)}^2}=\rho (\mathbf{x},\mathbf{y})$$

在 $n$ 维空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中定义了距离以后，就可以定义 ${\mathbb{R}}^n$ 的变元的极限：

设 $\mathbf{x}=(x_{!},x_2,\cdots ,x_n),\mathbf{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\in {\mathbb{R}}^n$ 。如果

$$\Vert \mathbf{x}-\mathbf{a}\Vert \to 0,$$

那么称变元 $\mathbf{x}$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中趋于固定元 $\mathbf{a}$ ，记作 $\mathbf{x}\to \mathbf{a}$ 。

显然，

$$\mathbf{x}\to \mathbf{a}\iff x_1\to a_1,x_2\to a_2,\cdots ,x_n\to a_n.$$

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中引入线性运算和距离，使得有关平面点集的一些列概念，可以方便地引入到 $n(n⩾3)$ 维空间中来。例如，

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\in {\mathbb{R}}^n$ ，$\delta$ 是某一正数，则 $n$ 维空间内的点集

U(a,δ)={x∣x∈R2,ρ(x,a)<δ}U(\boldsymbol{a}, \delta) = \{ \boldsymbol{x} | \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^2, \rho(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{a}) < \delta \} U(a,δ)={x∣x∈R2,ρ(x,a)<δ}

就定义为 ${\mathbb{R}}^n$ 中点 $\mathbf{a}$ 的 $\delta$ 邻域。以邻域为基础，可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点以及开集、闭集、区域等一系列概念。

二、多元函数的概念

定义1 设 $D$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 上的一个非空子集，称映射 $f:D\to \mathbb{R}$ 为定义在 $D$ 上的 二元函数 ，通常记为

$$z=f(x,y),(x,y)\in D$$
或
$$z=f(P),P\in D,$$
其中点集 $D$ 称为该函数的 定义域 ，$x$ 和 $y$ 称为 自变量 ，$z$ 称为 因变量 。

上述定义中，与自变量 $x$ 和 $y$ 的一对值（即二元有序实数组）$(x,y)$ 相对应的因变量 $z$ 的值，也称为 $f$ 在点 $(x,y)$ 处的函数值，记作 $f(x,y)$ ，即 $z=f(x,y)$ ．函数值 $f(x,y)$ 的全体所构成的集合称为函数 $f$ 的值域，记作 $f(D)$ ，即
f(D)={z∣z=f(x,y),(x,y)∈D}.f(D)=\{z | z=f(x, y),(x, y) \in D\} . f(D)={z∣z=f(x,y),(x,y)∈D}.

与一元函数的情形相仿，记号 $f$ 与 $f(x,y)$ 的意义是有区别的，但习惯上常用记号 ＂$f(x,y),(x,y)\in D$＂或＂$z=f(x,y),(x,y)\in D$＂来表示 $D$ 上的二元函数 $f$ ．表示二元函数的记号 $f$ 也是可以任意选取的，例如也可以记为 $z=\phi (x,y),z=z(x,y)$ 等．

类似地，可以定义三元函数 $u=f(x,y,z),(x,y,z)\in D$ 以及三元以上的函数．一般地，把定义 1 中的平面点集 $D$ 换成 $n$ 维空间 ${\mathbb{R}}^n$ 内的点集 $D$ ，映射 $f:D\to \mathbb{R}$ 就称为定义在 $D$ 上的 $n$ 元函数，通常记为
$$u=f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right),\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\in D$$

或简记为
$$u=f(x),x=\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\in D$$
也可记为
$$u=f(P),P(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in D.$$
当 $n=2$ 或 $n=3$ 时，习惯上将点 $\left(x_1,x_2\right)$ 与点 $\left(x_1,x_2,x_3\right)$ 分别写成 $(x,y)$ 与 $(x,y,z)$ ．这时，若用字母表示 ${\mathbb{R}}^2$ 或 ${\mathbb{R}}^3$ 中的点，即写成 $P(x,y)$ 或 $M(x,y,z)$ ，则相应的二元函数及三元函数也可简记为 $z=f(P)$ 及 $u=f(M)$ ．

当 $n=1$ 时，$n$ 元函数就是一元函数；当 $n⩾2$ 时，$n$ 元函数统称为多元函数．

关于多元函数的定义域，与一元函数相类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数 $u=f(x)$ 时，就以使这个算式有意义的变元 $x$ 的值所组成的点集为这个 多元函数的自然定义域 。因而，对这类函数，它的定义域不再特别标出。例如，函数 $z=\ln (x+y)$ 的定义域为
$$\{(x,y)|x+y>0\}$$
（图 9－2），这是一个无界开区域．

又如，函数 $z=\arcsin \left(x^2+y^2\right)$ 的定义域为
$$\left\{(x,y)|x^2+y^2⩽1\right\}$$
（图9－3），这是一个有界闭区域．

设函数 $ z=f(x, y) $ 的定义域为 $D$ ．对于任意取定的点 $P(x,y)\in D$ ，对应的函数值为 $ z=f(x, y) $ ．这样，以 $x$ 为横坐标、 $y$ 为纵坐标和 $ z=f(x, y) $ 为竖坐标在空间就确定一点 $M(x,y,z)$ ．当 $(x,y)$ 遍取 $D$上的一切点时，得到一个空间点集
$$\{(x,y,z)\mid z=f(x,y),(x,y)\in D\},$$

这个点集称为 二元函数 $ z=f(x, y) $ 的图形 （图9－4）．通常我们也说二元函数的图形是一张曲面．

例如，由空间解析几何知道，线性函数 $z=ax+by+c$的图形是一张平面，而函数 $z=x^2+y^2$ 的图形是旋转抛物面．

三、多元函数的极限

先讨论二元函数 $z=f(x,y)$ 当 $(x,y)\to \left(x_0,y_0\right)$ ，即 $P(x,y)\to P_0\left(x_0,y_0\right)$ 时的极限．
这里 $P\to P_0$ 表示点 $P$ 以任何方式趋于点 $P_0$ ，也就是点 $P$ 与点 $P_0$ 间的距离趋于零，即
$$\left|P{P}_0\right|=\sqrt{{\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2}\to 0.$$

与一元函数的极限概念类似，如果在 $P(x,y)\to P_0\left(x_0,y_0\right)$ 的过程中，对应的函数值 $ f(x, y) $ 无限接近于一个确定的常数 $A$ ，那么就说 $A$ 是函数 $ f(x, y) $ 当 $(x,y)\to \left(x_0,y_0\right)$ 时的极限．下面用＂$\epsilon -\delta$＂语言描述这个极限概念．

定义 2 设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 的定义域为 $D,P_0\left(x_0,y_0\right)$ 是 $D$ 的聚点．如果存在常数 $A$ ，对于任意给定的正数 $\epsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得当点 $P(x,y)\in D\cap \stackrel{\circ }{U}\left(P_0,\delta \right)$ 时，都有
$$|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<\epsilon$$

成立，那么就称常数 $A$ 为函数 $f(x,y)$ 当 $(x,y)\to \left(x_0,y_0\right)$ 时的极限，记作
$$\underset{(x,y)\to \left(x_0,y_0\right)}{\lim }f(x,y)=A或f(x,y)\to A\left((x,y)\to \left(x_0,y_0\right)\right),$$

也记作
$$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=A或f(P)\to A\left(P\to P_0\right).$$
为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做 二重极限 。

必须注意，所谓二重极限存在，是指 $P(x,y)$ 以任何方式趋于 $P_0\left(x_0,y_0\right)$ 时， $ f(x, y) $ 都无限接近于 $A$ 。因此，如果 $P(x,y)$ 以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于 $P_0\left(x_0,y_0\right)$ 时，即使 $ f(x, y) $ 无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在．但是反过来，如果当 $P(x,y)$ 以不同的方式趋于 $P_0\left(x_0,y_0\right)$ 时， $ f(x, y) $ 趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在．

以上关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 $n$ 元函数 $u=f(P)$ ，即 $u=f(x_1$ ， $x_2,\cdots ,x_n)$ 上去．

关于多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则．

四、多元函数的连续性

定义 3 设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 的定义域为 $D,P_0\left(x_0,y_0\right)$ 为 $D$ 的聚点，且 $P_0\in D$．如果

$$\underset{(x,y)\to \left(x_0,y_0\right)}{\lim }f(x,y)=f\left(x_0,y_0\right),$$

那么称函数 $ f(x, y) $ 在点 $P_0\left(x_0,y_0\right)$ 连续．
设函数 $ f(x, y) $ 在 $D$ 上有定义，$D$ 内的每一点都是函数定义域的聚点。如果函数 $ f(x, y) $ 在 $D$ 的每一点都连续，那么就称函数 $ f(x, y) $ 在 $D$ 上连续，或者称 $ f(x, y) $ 是 $D$上的 连续函数 ．

以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到 $n$ 元函数 $f(P)$ 上去．

定义 4 设函数 $ f(x, y) $ 的定义域为 $D,P_0\left(x_0,y_0\right)$ 是 $D$ 的聚点．如果函数 $ f(x, y) $ 在点 $P_0\left(x_0,y_0\right)$ 不连续，那么称 $P_0\left(x_0,y_0\right)$ 为函数 $ f(x, y) $ 的间断点．

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓 定义区域 是指包含在定义域内的区域或闭区域。

由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 $P_0$ 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，那么此极限值就是函数在该点的函数值，即
$$\underset{P\to P_0}{\lim }f(P)=f(P_0).$$
在有界闭区域上连续的多元函数具有如下性质：

性质1（有界性与最大值最小值定理） 在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数，必定在 $D$ 上有界，且能取得它的最大值和最小值．

性质1就是说，若 $f(P)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则必定存在常数 $M>0$ ，使得对一切 $P\in D$ ，有 $|f(P)|⩽M$ ；且存在 $P_1,P_2\in D$ ，使得
f(P1)=max⁡{f(P)∣P∈D},f(P2)=min⁡{f(P)∣P∈D}.f\left(P_{1}\right)=\max \{f(P) \mid P \in D\}, \quad f\left(P_{2}\right)=\min \{f(P) \mid P \in D\} . f(P1​)=max{f(P)∣P∈D},f(P2​)=min{f(P)∣P∈D}.

性质2（介值定理） 在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值．
＊性质3（一致连续性定理） 在有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数必定在 $D$ 上 一致连续 ．

性质3就是说，若 $f(P)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则对于任意给定的正数 $\epsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得对于 $D$ 上的任意两点 $P_1,P_2$ ，只要当 $\left|P_1{P}_2\right|<\delta$ 时，都有
$$\left|f\left(P_1\right)-f\left(P_2\right)\right|<\epsilon$$

成立．

原文链接：高等数学 9.1多元函数的基本概念