注意力机制中为什么q与k^T相乘是注意力分数

要理解 “$\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 是注意力分数”，核心是抓住注意力机制的本质目标 ——量化 “查询（q）” 与 “键（k）” 之间的关联程度，而向量点积（矩阵相乘的元素本质）恰好是实现这一目标的天然工具。下面分三步拆解：

一、注意力分数的核心使命：找 “查询与键” 的关联度

注意力机制的核心逻辑是 “按需聚焦”：比如阅读时，我们会根据当前 “想找的信息（查询 q）”，去关注文本中 “相关的内容（键 k）”。为实现这一逻辑，第一步必须先回答：“每个查询与每个键的相关性有多高？”

这个 “相关性数值”，就是注意力分数。

例如：

• 若查询 q 是 “猫的颜色”，键 k1 是 “黑色猫咪”、k2 是 “红色汽车”，则 q 与 k1 的分数应高，与 k2 的分数应低；
• 若有多个查询（如 “猫的颜色”“狗的大小”）和多个键，则需要一个 “查询 - 键关联表”，记录所有查询对所有键的相关性 —— 这正是 $\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 矩阵的作用。

二、向量点积：天然的 “关联度度量工具”

$\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 矩阵中，每个元素的本质是 “单个查询向量 **** **** 与单个键向量 **** **** 的点积”（即 ${\mathbf{q}}_i\cdot {\mathbf{k}}_j$），而点积的几何意义恰好能量化 “关联度”。

回顾向量点积的数学定义与几何意义：

对两个维度为 $d_k$ 的向量 ${\mathbf{q}}_i$ 和 ${\mathbf{k}}_j$，点积公式为：

${\mathbf{q}}_i\cdot {\mathbf{k}}_j={\sum }_{t=1}^{d_k}{q}_{i,t}\times k_{j,t}$

其几何等价形式为：

${\mathbf{q}}_i\cdot {\mathbf{k}}_j=\Vert {\mathbf{q}}_i\Vert \times \Vert {\mathbf{k}}_j\Vert \times \cos \theta$

其中：

• $\Vert {\mathbf{q}}_i\Vert$、$\Vert {\mathbf{k}}_j\Vert$ 是向量的模长（可理解为向量的 “信息量大小”）；
• $\theta$ 是 ${\mathbf{q}}_i$ 与 ${\mathbf{k}}_j$ 的夹角，$\cos \theta$ 是 “方向相似度”——$\theta$ 越小（方向越接近），$\cos \theta$ 越接近 1，点积越大；$\theta$ 越大（方向越背离），$\cos \theta$ 越接近 - 1，点积越小。

这恰好完美匹配 “关联度” 的需求：

• 当查询 q 与键 k “方向相似”（比如 q 是 “猫”，k 是 “猫咪”），$\cos \theta$ 大，点积大→注意力分数高，说明两者相关；
• 当查询 q 与键 k “方向无关”（比如 q 是 “猫”，k 是 “汽车”），$\cos \theta$ 接近 0，点积小→注意力分数低，说明两者无关。

此外，点积还有一个关键优势：计算高效。相比欧氏距离（衡量 “差异”，需开平方）等其他度量方式，点积仅需加法和乘法，适合深度学习中大规模矩阵运算（这也是 Transformer 选择点积作为分数度量的重要工程原因）。

三、$\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$：批量计算所有 “查询 - 键” 的关联度

前面讲的是 “单个查询 vs 单个键” 的情况，而实际模型中，我们通常有多个查询（m 个）和多个键（n 个），需要一次性计算 “所有查询对所有键的分数”—— 这就需要通过矩阵相乘 $\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 实现，其维度变化和元素含义如下：

1. 明确向量 / 矩阵维度（结合文档假设）

• 单个查询向量 ${\mathbf{q}}_i$：维度为 $d_k$（如文档中 $d_k=64$），即形状为 $(1,d_k)$；
• 多个查询组成的矩阵 $\mathbf{Q}$：包含 $m$ 个查询，形状为 $(m,d_k)$（每行是一个查询）；
• 单个键向量 ${\mathbf{k}}_j$：维度同样为 $d_k$，形状为 $(1,d_k)$；
• 多个键组成的矩阵 $\mathbf{K}$：包含 $n$ 个键，形状为 $(n,d_k)$（每行是一个键）；
• 键矩阵的转置 ${\mathbf{K}}^T$：将 $\mathbf{K}$ 的行与列交换，形状变为 $(d_k,n)$（每列是一个键）。

2. 矩阵相乘的物理含义：生成 “注意力分数矩阵”

根据矩阵相乘的规则（前矩阵列数 = 后矩阵行数才能相乘），$\mathbf{Q}\times {\mathbf{K}}^T$ 的计算过程如下：

• 输入维度：$\mathbf{Q}(m,d_k)\times {\mathbf{K}}^T(d_k,n)$；
• 输出维度：$(m,n)$（前矩阵行数 × 后矩阵列数）；
• 输出矩阵的每个元素 $(i,j)$：第 $i$ 个查询向量 ${\mathbf{q}}_i$ 与第 $j$ 个键向量 ${\mathbf{k}}_j$ 的点积（即 ${\mathbf{q}}_i\cdot {\mathbf{k}}_j$）。

这个 $(m,n)$ 的输出矩阵，就是注意力分数矩阵—— 它本质是一张 “查询 - 键关联表”：

• 行：对应每个查询（共 $m$ 行）；
• 列：对应每个键（共 $n$ 列）；
• 元素 $(i,j)$：第 $i$ 个查询对第 $j$ 个键的 “关联度分数”。

3. 与文档逻辑的呼应：分数矩阵的后续处理

需要注意的是，$\mathbf{Q}\times {\mathbf{K}}^T$ 得到的是 “原始注意力分数”，正如文档中强调的，由于点积的方差会随 $d_k$ 增长（$\text{Var}({\mathbf{q}}_i\cdot {\mathbf{k}}_j)=d_k$），原始分数会出现数值极端化问题。因此，后续必须除以 $\sqrt{d_k}$ 进行方差归一化（将方差固定为 1），再通过 softmax 转化为 “注意力权重”（表示每个键对查询的贡献占比）—— 这也印证了文档中 “缩放点积注意力” 的完整流程：

$\text{Attention}(\mathbf{Q},\mathbf{K},\mathbf{V})=\text{softmax}\left(\frac{\mathbf{Q}\times {\mathbf{K}}^T}{\sqrt{d_k}}\right)\times \mathbf{V}$

其中 $\mathbf{V}$（值向量）是最终要 “聚焦” 的内容，而 $\frac{\mathbf{Q}\times {\mathbf{K}}^T}{\sqrt{d_k}}$ 正是归一化后的注意力分数矩阵。

四、举个具体例子：让抽象矩阵变直观

假设：

• 查询数量 $m=2$（比如查询 1：“猫的颜色”，查询 2：“狗的大小”）；
• 键数量 $n=3$（比如键 1：“黑色猫咪”，键 2：“棕色小狗”，键 3：“红色汽车”）；
• 维度 $d_k=2$（简化计算，实际为 64）。

1. 设定具体向量（符合文档初始化：均值 0、方差 1）

• 查询矩阵 $\mathbf{Q}$（2×2）：

  $\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{cc}0.8& 0.2\\ 0.1& 0.9\end{array}\right]$

  （第 1 行：查询 1 “猫的颜色”，第 2 行：查询 2 “狗的大小”）

• 键矩阵 $\mathbf{K}$（3×2）：

  $\mathbf{K}=\left[\begin{array}{cc}0.7& 0.3\\ 0.2& 0.8\\ 0.4& -0.5\end{array}\right]$

  （第 1 行：键 1 “黑色猫咪”，第 2 行：键 2 “棕色小狗”，第 3 行：键 3 “红色汽车”）

• 键转置 ${\mathbf{K}}^T$（2×3）：

  ${\mathbf{K}}^T=\left[\begin{array}{ccc}0.7& 0.2& 0.4\\ 0.3& 0.8& -0.5\end{array}\right]$

2. 计算 $\mathbf{Q}\times {\mathbf{K}}^T$（原始注意力分数矩阵）

根据矩阵相乘规则：

• 元素 $(1,1)$（查询 1× 键 1）：$0.8\times 0.7+0.2\times 0.3=0.56+0.06=0.62$（分数高，关联强）；
• 元素 $(1,2)$（查询 1× 键 2）：$0.8\times 0.2+0.2\times 0.8=0.16+0.16=0.32$（分数中，关联弱）；
• 元素 $(1,3)$（查询 1× 键 3）：$0.8\times 0.4+0.2\times (-0.5)=0.32-0.1=0.22$（分数低，关联弱）；
• 元素 $(2,1)$（查询 2× 键 1）：$0.1\times 0.7+0.9\times 0.3=0.07+0.27=0.34$（分数中，关联弱）；
• 元素 $(2,2)$（查询 2× 键 2）：$0.1\times 0.2+0.9\times 0.8=0.02+0.72=0.74$（分数高，关联强）；
• 元素 $(2,3)$（查询 2× 键 3）：$0.1\times 0.4+0.9\times (-0.5)=0.04-0.45=-0.41$（分数低，关联弱）。

最终原始分数矩阵为：

$\mathbf{Q}\times {\mathbf{K}}^T=\left[\begin{array}{ccc}0.62& 0.32& 0.22\\ 0.34& 0.74& -0.41\end{array}\right]$

这个矩阵完全符合预期：

• 查询 1（猫的颜色）对键 1（黑色猫咪）分数最高，对键 3（红色汽车）分数最低；

• 查询 2（狗的大小）对键 2（棕色小狗）分数最高，对键 3（红色汽车）分数最低。

  后续只需除以 $\sqrt{d_k}=\sqrt{2}\approx 1.414$ 归一化，再经 softmax 就能得到合理的注意力权重。

总结：$\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 是注意力分数的本质原因

1. 目标匹配：注意力需要 “关联度”，点积的几何意义（方向相似度 + 信息量）恰好量化了关联度；
2. 运算高效：点积计算简单，适合大规模矩阵运算；
3. 批量输出：$\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 能一次性生成 “所有查询对所有键” 的关联度，形成结构化的分数矩阵；
4. 衔接后续流程：原始分数矩阵需经文档中提到的 “除以 $\sqrt{d_k}$ 归一化” 和 “softmax 权重转化”，最终实现 “按需聚焦”—— 这也说明 $\mathbf{q}\times {\mathbf{k}}^T$ 是注意力机制的核心 “分数来源”。