当前位置: 首页 > news >正文

【高等数学笔记-极限(4)】极限的运算法则

运算法则

有关无穷小量的:

  • 两个无穷小量之和为无穷小量
  • 两个无穷小量之积为无穷小量
  • 有限个无穷小量之和为无穷小量
  • 有限个无穷小量之积为无穷小量
  • 常数乘以无穷小量为无穷小量
  • 有界函数与无穷小量之积为无穷小量

不可使用的:

  • 两个无穷小量之商:不定式

注意必须2个极限都存在时才可以使用,否则不可以使用!!并且这里的极限代表不同极限情况(趋于某点或者趋于无穷)

lim⁡f(x)=A,lim⁡g(x)=B\lim f(x)=A,\lim g(x)=Blimf(x)=A,limg(x)=B,那么有:

  • lim⁡[f(x)+g(x)]=lim⁡f(x)+lim⁡g(x)\lim [f(x)+g(x)]=\lim f(x)+\lim g(x)lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)
  • lim⁡[f(x)−g(x)]=lim⁡f(x)−lim⁡g(x)\lim [f(x)-g(x)]=\lim f(x)-\lim g(x)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)
  • lim⁡[f(x)⋅g(x)]=lim⁡f(x)⋅lim⁡g(x)\lim [f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)
  • lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f(x)lim⁡g(x),g(x)≠0\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} ,\quad g(x)\ne 0limg(x)f(x)=limg(x)limf(x),g(x)=0

这个四则运算同样适用于数列的极限运算

即同一极限过程中,函数之和(差,积,商)的极限,等于函数的极限之和(差,积,商);
证明:
即证明当lim⁡f(x)=A,lim⁡g(x)=B\lim f(x)=A,\lim g(x)=Blimf(x)=A,limg(x)=B时,
lim⁡[f(x)+g(x)]=lim⁡f(x)+lim⁡g(x)=A+B\lim [f(x)+g(x)]=\lim f(x)+\lim g(x)=A+Blim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)=A+B
即证明f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)+g(x)的极限是A+BA+BA+B
∀ε>0,∃δ>0;当0<∣x−x0∣<δ时,有∣f(x)+g(x)−(A+B)∣<ε\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0;当0<|x-x_0|<\delta时,有|f(x)+g(x)-(A+B)|<\varepsilonε>0,δ>0;0<xx0<δ,f(x)+g(x)(A+B)<ε

A=lim⁡f(x)=f(x)+α;B=lim⁡f(x)=f(x)+β A=\lim f(x)=f(x)+\alpha;B=\lim f(x)=f(x)+\beta A=limf(x)=f(x)+α;B=limf(x)=f(x)+β
∣f(x)+g(x)−(A+B)∣=∣A−α+B−β−(A+B)∣  ⟹  ∣α+β∣<ε |f(x)+g(x)-(A+B)|=|A-\alpha+B-\beta - (A+B)| \implies |\alpha+\beta |<\varepsilon f(x)+g(x)(A+B)=Aα+Bβ(A+B)α+β<ε
得证

  • lim⁡[c⋅f(x)]=c⋅lim⁡f(x)\lim [c\cdot f(x)]=c\cdot \lim f(x)lim[cf(x)]=climf(x)

注意求极限的变量对象是谁,非自变量都视为常数ccc
例如
lim⁡x→2x2n+1=1(n+1)⋅lim⁡x→2x2=4(n+1)\lim_{x\to 2} \frac{x^2}{n+1}=\frac{1}{(n+1)}\cdot \lim_{x\to 2} {x^2}=\frac{4}{(n+1)}x2limn+1x2=(n+1)1x2limx2=(n+1)4
lim⁡n→2x2n+1=x2⋅lim⁡n→21(n+1)=x23\lim_{n\to 2} \frac{x^2}{n+1}=x^2\cdot \lim_{n\to 2} {\frac{1}{(n+1)}}=\frac{x^2}{3}n2limn+1x2=x2n2lim(n+1)1=3x2

  • lim⁡[f(x)]n=[lim⁡f(x)]n,n∈N+\lim [f(x)]^n=[\lim f(x)]^n,n \in \mathbb{N^+}lim[f(x)]n=[limf(x)]n,nN+

  • φ(x)≥ψ(x)  ⟹  lim⁡φ(x)≥ψ(x)\varphi(x)\ge\psi(x)\implies \lim{\varphi(x)}\ge{\psi(x)}φ(x)ψ(x)limφ(x)ψ(x)

  • 多项式的分数形式的商(有理函数),x→∞x\to\inftyx时极限,最高次数的系数之比就是极限;如果分母最高次次数比分子高,则极限无穷大;分母的最高次次数大于分子,则极限无穷小;

  • 复合函数的极限法则,即先求内层的极限,再求外层极限;举例:

lim⁡x→0esin⁡x  ⟹  lim⁡x→0sin⁡x⏟u=0  ⟹  lim⁡u→0eu=1 \lim_{x \to 0}e^{\sin x} \implies \lim_{x \to 0}{\underbrace{\sin x}_{u}}=\boxed{0}\implies \lim_{u \to \boxed{0}}{e^u}=1 x0limesinxx0limusinx=0u0limeu=1

例题

有理函数极限

趋于某点的极限x→x0x\to x_0xx0

  • 最简单情况:代入x0x_0x0后,分母不为0,分子不为0,直接代入求值
    lim⁡x→2x2+5x−3=−9 \lim_{x\to 2}{\frac{x^2+5}{x-3}}=-9 x2limx3x2+5=9

  • 代入x0x_0x0后,分母不为0,分子为0;实际就是0
    lim⁡x→2x−2x+2=04=0 \lim_{x\to 2}{\frac{x-2}{x+2}}=\frac{0}{4}=0 x2limx+2x2=40=0

  • 代入x0x_0x0后,分母为0,分子是非零常数,即1/x1/x1/x形式;
    lim⁡x→2x3+2x2(x−2)2=∞ \lim_{x\to 2}{\frac{x^3+2x^2}{(x-2)^2}}=\infty x2lim(x2)2x3+2x2=

  • 代入x0x_0x0后,分母,分子均为0,需要具体分析
    lim⁡x→4x2−6x+8x2−5x+4=lim⁡x→4(x−2)(x−4)(x−4)(x−1)=lim⁡x→4x−2x−1=23 \begin{align*} &\lim_{x\to 4}{\frac{x^2-6x+8}{x^2-5x+4}}\\ =&\lim_{x\to 4}{\frac{(x-2)(x-4)}{(x-4)(x-1)}}\\ =&\lim_{x\to 4}{\frac{x-2}{x-1}}\\ =&\frac{2}{3} \end{align*} ===x4limx25x+4x26x+8x4lim(x4)(x1)(x2)(x4)x4limx1x232

趋于x→∞x\to \inftyx的极限

  • 取最高次系数比,就是极限;如果分子分母不同次,就是∞\infty或者000
    lim⁡x→∞x22x+1=∞ \lim_{x\to \infty}{\frac{x^2}{2x+1}}=\infty xlim2x+1x2=
    lim⁡x→∞2x+1x2=0 \lim_{x\to \infty}{\frac{2x+1}{x^2}}=0 xlimx22x+1=0
    lim⁡x→∞2x2+2x+13x2+10x+5=23 \lim_{x\to \infty}{\frac{2x^2+2x+1}{3x^2+10x+5}}=\frac{2}{3} xlim3x2+10x+52x2+2x+1=32

总结一下,当出现了求分数形式多项式极限(有理函数极限);

  1. x→x0x\to x_0xx0
  • 先直接代入x0x_0x0:若分母不为0,代入x0x_0x0求函数值就是极限值;
  • 直接代入x0x_0x0值,若得到分母为0
    • 若分子不为0,则极限为∞\infty,符号需要具体分析
    • 尝试化简式子,看看化简后直接代入分母是否还为0,不为0了就可直接代入;化简的核心目的,就是将使得分母出现0的表达式提取出来,看是否可以与分子约分;
  1. x→∞x\to \inftyx
  • 最高次数的系数之比就是极限;如果分母最高次次数比分子高,则极限无穷大;分母的最高次次数大于分子,则极限是0;

求幂指函数(底数和指数均含有变量xxx)的极限

lim⁡n→∞(nn+1)2n=lim⁡n→∞nn+1lim⁡n→∞2n=10=1 \begin{align*} &\lim_{n\to \infty}{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\frac{2}{n}}}\\ =&\lim_{n\to \infty}{\frac{n}{n+1}^{\lim_{n\to \infty}{\frac{2}{n}}}}\\ =&1^0=1\\ \end{align*} ==nlim(n+1n)n2nlimn+1nlimnn210=1

lim⁡x→∞(2x2−1x2+1)x2=lim⁡x→∞(2x2−1x2+1)lim⁡x→∞x2=lim⁡u→+∞2u=+∞ \begin{align*} &\lim_{x\to \infty}{\left(\frac{2x^2-1}{x^2+1}\right)^{x^2}}\\ =&\lim_{x\to \infty}{\left(\frac{2x^2-1}{x^2+1}\right)}^{\lim_{x\to \infty}x^2}\\ =&\lim_{u\to+\infty}2^{u}=+\infty \end{align*} ==xlim(x2+12x21)x2xlim(x2+12x21)limxx2u+lim2u=+


  • 分别求底数和指数的极限;
    • 若底数极限是大于0的常数A,A≠1A,A\ne1A,A=1:
      • 指数极限是非000常数BBB,则极限为ABA^BAB
      • 指数极限为000,极限为1
      • 指数极限为∞\infty:
        • 0<底数极限<1:
          • 指数极限为+∞+\infty+,极限为0
          • 指数极限为−∞-\infty,极限为+∞+\infty+
        • 底数极限>1:
          • 指数极限为−∞-\infty,极限为0
          • 指数极限为+∞+\infty+,极限为+∞+\infty+
    • 以下特殊情况,需要单独讨论
      • 底数极限为1时
      • 指数极限为不确定方向的∞\infty,例如lim⁡x→01x\lim_{x\to 0}{\frac{1}{x}}limx0x1

等差,等比公式解决

lim⁡n→∞(1n3+2n3+⋯+nn3)=lim⁡n→∞n2⋅(1n3+nn3)=lim⁡n→∞n2⋅n+1n3=lim⁡n→∞n+12n2=0 \begin{align*} &\lim_{n\to \infty}{\left(\frac{1}{n^3}+\frac{2}{n^3}+\cdots+\frac{n}{n^3}\right)}\\ =&\lim_{n\to \infty}{\frac{n}{2}\cdot \left(\frac{1}{n^3}+\frac{n}{n^3}\right)}\\ =&\lim_{n\to \infty}{\frac{n}{2}\cdot \frac{n+1}{n^3}}\\ =&\lim_{n\to \infty}{\frac{n+1}{2n^2}}\\ =&0\\ \end{align*} ====nlim(n31+n32++n3n)nlim2n(n31+n3n)nlim2nn3n+1nlim2n2n+10
lim⁡n→∞(1+12+122+⋯+12n−1)=lim⁡n→∞1×(1−(12)n−1)1−12=lim⁡n→∞2(1−(12)n−1)=2 \begin{align*} &\lim_{n\to \infty}{\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\right)}\\ =&\lim_{n\to \infty}{\frac{1\times\left(1-(\frac{1}{2})^{n-1}\right)}{1-\frac{1}{2}}}\\ =&\lim_{n\to \infty}{2\left(1-(\frac{1}{2})^{n-1}\right)}\\ =&2 \end{align*} ===nlim(1+21+221++2n11)nlim1211×(1(21)n1)nlim2(1(21)n1)2

有理化方案

lim⁡x→+∞x2+x+1−x2−x+1=lim⁡x→+∞(x2+x+1−x2−x+1)(x2+x+1+x2−x+1)x2+x+1+x2−x+1=lim⁡x→+∞x2+x+1−x2+x−1x2+x+1+x2−x+1=lim⁡x→+∞2xx2+x+1+x2−x+1=lim⁡x→+∞2x−2(x2+x+1+x2−x+1)=lim⁡x→+∞2(1+1x+1x2+1−1x+1x2)=lim⁡x→+∞2(1+0+0+1−0+0)=1 \begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}}\\ =&\lim_{x\to +\infty}{\frac{(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1})(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1})}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}}\\ =&\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^2+x+1-x^2+x-1}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}}\\ =&\lim_{x\to +\infty}{\frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}}\\ =&\lim_{x\to +\infty}{\frac{2}{\sqrt{x^{-2}}(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1})}}\\ =&\lim_{x\to +\infty}{\frac{2}{(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}})}}\\ =&\lim_{x\to +\infty}{\frac{2}{(\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1-0+0})}}\\ =&1\\ \end{align*} =======x+limx2+x+1x2x+1x+limx2+x+1+x2x+1(x2+x+1x2x+1)(x2+x+1+x2x+1)x+limx2+x+1+x2x+1x2+x+1x2+x1x+limx2+x+1+x2x+12xx+limx2(x2+x+1+x2x+1)2x+lim(1+x1+x21+1x1+x21)2x+lim(1+0+0+10+0)21

lim⁡n→∞n(n+1−n)=lim⁡n→∞n(n+1−n)(n+1+n)n+1+n=lim⁡n→∞nn+1+n=lim⁡n→∞nn+1+n=lim⁡n→∞1n+1n+1=12 \begin{align*} &\lim_{n\to \infty}{\sqrt{n}}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\\ =&\lim_{n\to \infty}{\frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\\ =&\lim_{n\to \infty}{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\\ =&\lim_{n\to \infty}{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\\ =&\lim_{n\to \infty}{\frac{1}{\sqrt{\frac{n+1}{n}}+1}}\\ =&\frac{1}{2} \end{align*} =====nlimn(n+1n)nlimn+1+nn(n+1n)(n+1+n)nlimn+1+nnnlimn+1+nnnlimnn+1+1121

lim⁡x→−∞x2+x+1−x2−x+1=lim⁡x→−∞x2+x+1−x2+x−1x2+x+1+x2−x+1=lim⁡x→−∞2xx2+x+1+x2−x+1=lim⁡x→−∞2−1+1x1x2+−1−1x+1x2=−1 \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}{\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}}\\ =&\lim_{x\to -\infty}{\frac{x^2+x+1-x^2+x-1}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}}\\ =&\lim_{x\to -\infty}{\frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}}\\ =&\lim_{x\to -\infty}{\frac{2}{-\sqrt{1+\frac{1}{x}\frac{1}{x^2}}+-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}}\\ =&-1 \end{align*} ====xlimx2+x+1x2x+1xlimx2+x+1+x2x+1x2+x+1x2+x1xlimx2+x+1+x2x+12xxlim1+x1x21+1x1+x2121

由于x→−∞x\to -\inftyx,故而x=−x2≠x2x=-\sqrt{x^2}\ne\sqrt{x^2}x=x2=x2


核心目的是在x→+∞x\to +\inftyx+,时构建1x\frac{1}{x}x1形式的无穷小量;构建平方差是一个去除根号的好方法; 看到带根号的式子可以考虑这个方案;

http://www.dtcms.com/a/345045.html

相关文章:

  • 大麦盒子DM4036-精简固件包及教程
  • Vue2+Vue3前端开发_Day7
  • [TG开发]部署机器人
  • Java多线程编程与锁机制全解析(覆盖Java到Spring)
  • 从0到1打造一台机器人走起来
  • 技术解读|MatrixOne高效 CDC:基于快照的分布式数据库优化方案
  • AI如何赋能财务分析:1份财务报表录入从数小时到5分钟
  • 声网SDK更新,多场景抗弱网稳定性大幅增强
  • 制造企业用档案宝,档案清晰可查
  • ArrayList线程不安全问题及解决方案详解
  • AI:业务驱动与技术赋能:企业智能化应用的双向进化深度指南
  • 红酒数据集预处理实战:缺失值处理的 5 种打开方式,从入门到进阶一步到位
  • vue-admin-template权限管理
  • 信创认证是什么?怎么报考?
  • 特级资质信息化迎检核心流程经验分享
  • Pod控制器详解
  • STM32之ADC详解
  • [系统架构设计师]大数据架构设计理论与实践(十九)
  • ​维基框架 (Wiki Framework) 1.1.0 版本发布​ 提供多模型AI辅助开发
  • TNS(ORACLE)协议分析
  • [硬件电路-162]:PID参数受哪些因素影响?
  • 【Redis】缓存和分布式锁
  • MySQL - 视图,事务和索引
  • AAA 服务器与 RADIUS 协议笔记
  • C语言初学笔记【联合与枚举】
  • Unreal Engine USceneComponent
  • 如何实现二维CAD与3D建模工程图关联一体化出图 | 中望3D 2026新亮点
  • android sdk 虚拟机是否可以通过命令行打开?
  • 数字逻辑与数字系统设计之电梯控制器设计
  • 防爆连接器在防爆箱上的作用