线性回归：机器学习中的基础建模工具
在机器学习领域，线性回归是一种经典且应用广泛的模型。它以直观的原理、清晰的可解释性和高效的计算性能，成为数据科学入门者的必备知识，也是解决回归问题的常用工具。
一、线性回归的核心逻辑：找到最佳拟合关系
线性回归的本质是通过属性的线性组合构建预测模型，目标是找到一条直线（或高维空间的超平面），使预测值与真实值的误差最小化。
- 简单线性回归：当仅用一个特征预测目标变量时，模型形式为 f(x) = w₀ + w₁x。例如用房屋大小（x）预测房价（f (x)），其中 w₀是截距，w₁是特征系数。
- 一般形式：对于含 d 个特征的样本 x=(x₁, x₂,...,x_d)，线性模型可表示为 f(x) = w₁x₁ + w₂x₂ + ... + w_dx_d + b，向量形式简化为 f(x) = wᵀx + b（w 为权重向量，b 为偏置项）。
无论是哪种形式，核心都是通过求解参数（w 和 b），建立特征与目标变量的线性关系。
二、参数求解：最小二乘法的应用
如何确定最优的参数 w 和 b？线性回归采用最小二乘法，其核心思想是最小化预测值与真实值的均方误差（对应欧氏距离）。
- 目标函数：需最小化的误差平方和为 E(w,b) = Σ(yᵢ - f(xᵢ))²（yᵢ为真实值，f (xᵢ) 为预测值）。
- 求解过程：通过对 E (w,b) 分别求 w 和 b 的偏导，令导数为 0，即可得到参数的最优解（这一过程称为 “参数估计”）。
三、模型评估：如何判断拟合效果？
为衡量模型性能，常用以下指标：
- 误差平方和（SSE/RSS）：所有样本预测误差的平方和，SSE = Σ(yᵢ - ŷᵢ)²（ŷᵢ为预测值），值越小说明拟合越好。
- 均方误差（MSE）：SSE 的平均值，MSE = (1/n)Σ(yᵢ - ŷᵢ)²，消除了样本数量的影响，便于跨数据集比较。
- R²（决定系数）：最常用的指标，取值范围 [0,1]，越接近 1 表示模型拟合效果越好。其计算公式为 R² = 1 - (SSE/SST)（SST 为总平方和，即真实值与均值差的平方和）。
四、多元线性回归：处理多特征问题
当目标变量受多个特征影响时（如房价受面积、房间数、地段等影响），需用到多元线性回归，模型形式为 y = w₀ + w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wₙxₙ，其中 x₁到 xₙ为特征，w₀到 wₙ为参数。
多元线性回归通过矩阵运算高效求解参数，核心逻辑与简单线性回归一致，均基于最小二乘法最小化误差。
五、实战：用 scikit-learn 实现线性回归
在 Python 中，可通过 scikit-learn 的linear_model.LinearRegression快速实现线性回归，关键参数包括：
- fit_intercept：是否保留截距项（默认 True，若为 False 则模型过原点）；
- normalize：是否归一化数据（默认 False）。
以波士顿房价预测为例，流程如下：
总结
线性回归是机器学习的基础模型，其核心是通过线性关系拟合数据，用最小二乘法求解最优参数，并通过 SSE、MSE、R² 等指标评估效果。无论是简单线性回归还是多元线性回归，都以简洁的原理解决了大量实际问题，是数据分析和预测任务中的重要工具。