基于离散点集的三次样条插值与符号表达式构建：从 Scipy 到 Sympy 的完整实现

在科学计算与工程建模中，我们经常面对一组离散的平面数据点 $(x_i,y_i)$，总数约 $1000$ 个，目标是构造一条光滑曲线来逼近这些点，并进一步获得其数学表达式。理想情况下，该表达式不仅能用于数值计算，还应支持符号运算，如求导、积分、极限等。Python 中的 scipy 提供了强大的数值插值工具，而 sympy 则擅长符号代数。本文将展示如何结合二者，先利用 scipy.interpolate.CubicSpline 进行三次样条插值，提取其分段多项式系数，再构建一个完全由 sympy 管理的符号表达式，并解决大规模分段函数在数值计算中的效率瓶颈，最终通过可视化验证其正确性。

三次样条插值是一种在每个相邻数据点区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上构造三次多项式 $S_i(x)$ 的方法，确保整体曲线在节点处连续、一阶导数连续和二阶导数连续。对于 $n$ 个数据点，样条由 $n-1$ 个分段多项式组成。scipy 的 CubicSpline 类高效地完成了这一任务，其内部以系数矩阵 $cs.c$ 的形式存储每个区间的多项式系数。具体地，对于第 $i$ 个区间，其多项式表示为：

Si(x)=ai+bi(x−xi)+ci(x−xi)2+di(x−xi)3 S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3 Si​(x)=ai​+b