当前位置：首页 > news >正文

矩阵的特征分解

news 2025/8/21 7:14:41

将矩阵 $A$ 作用于向量 $k$ ，相当于对该向量 $k$ 进行了线性变换，如果线性变换后的结果与 $k$ 向量平行，即对K向量只有拉伸压缩，则将 $k$ 定义为特征向量（Eigenvector），拉伸压缩倍数为特征值（Eigenvalue），特征值为正，表示正向拉伸压缩，特征值为负，表示反向拉伸压缩。

设 $v_{1} , v_{2}$ 为 $A$ 的特征向量，则有：

$Av_{1}=\lambda _{1}v_{1}\\ Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}$

将 $A$ 作用于任一向量 $k$ ，可以先将 $k$ 在特征向量上进行分解得到系数： $k=x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}$ ，然后按照特征值对系数进行缩放，再按照缩放后的系数重新组合特征向量。

$Ak=x_{1}\lambda _{1}v_{1}+x_{2}\lambda _{2}v_{2}\\ \\=\begin{bmatrix} v_{1} & v_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0\\ 0& \lambda _{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}$

令 $P = \begin{bmatrix} v_{1} & v_{2} \end{bmatrix}$ ， $\Lambda =\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0\\ 0& \lambda _{2} \end{bmatrix}$ ， $X=\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}$ ，则 $X = P^{-1}k$ ，

$Ak=P\Lambda P^{-1}k$ ， $A=P\Lambda P^{-1}$ ，所以矩阵 $A$ 可以分解为特征向量矩阵与特征值矩阵相关的表达式，这对于求解 $A^{2},A^{3},...A^{n}$ 非常方便。

若 $A$ 为实对称矩阵，即 $A^{T}=A$ ，

$\lambda _{1}v_{1}^{T}v_{2}=v_{1}^{T}Av_{2}=\lambda _{2}v_{1}^{T}v_{2}\\ \\ (\lambda _{1}-\lambda _{2})v_{1}^{T}v_{2}=0\\ \\ \because \lambda _{1}\neq \lambda _{2},\therefore v_{1}^{T}v_{2}=0$