差分约束系统SPFA判负环
什么是差分约束系统？
差分约束可以理解为满足n个条件的不等式。通常属于
为什么能用spfa？
1.每个不等式能转化为一条有向边，比如可以转化为从节点i到j有一条权为n的边
2.求解差分约束系统等价于寻找一组变量值 x_1, x_2, ..., x_n，满足所有边对应的约束。这与最短路松弛操作的逻辑完全一致：
最短路中，dist[j] ≤ dist[i] + c（从 i 到 j 的最短路径不超过 i 的距离加边权 c）
差分约束中，x_j ≤ x_i + c（变量 x_j 不超过 x_i 加常数 c）
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如何根据不等式建边？
对于任意不等式 x_j - x_i ≤ c（这是最基础的形式）：
1.等价变形为 x_j ≤ x_i + c
2.对应图中一条从节点 i 指向节点 j 的有向边，边的权重为 c
为什么如此？
因为spfa的松弛操作对应“如果dist[i]>d[x]+w[i]就更新”，这个不等式相当于x_j ≤ x_i + c
所有建边规则的本质，都是把差分约束的不等式，统一转化为最短路算法能理解的 “dist[j] ≤ dist[i] + c” 形式。只有这样，才能通过 SPFA 等最短路算法，既找到满足所有约束的x（即dist数组），又能检测负环（判断无解）。
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为什么负环无解？
在差分约束系统中，负环的存在会导致无限满足 “变量差值小于某个负数” 的矛盾循环，使得变量取值不存在合法解。
具体来说，差分约束将每个不等式 x_j - x_i ≤ c 转化为图中从 i 到 j、边权为 c 的有向边，求解等价于找一组变量值满足所有边的约束。若图中存在负环（环上所有边权之和为负数），则沿着环循环遍历会得到矛盾：
- 例如负环 a→b→c→a，边权分别为 -1、-1、-1，对应约束 x_b - x_a ≤ -1、x_c - x_b ≤ -1、x_a - x_c ≤ -1。
- 将三个不等式相加，左边抵消为 0，右边总和为 -3，得到 0 ≤ -3，这是恒不成立的矛盾。
- 同时，绕负环循环次数越多，变量差值会无限减小（如 x_b 会比 x_a 无限小），无法找到固定的合法数值，因此系统无解。
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如何spfa判负环？
判断任意一个节点入队次数是否大于总节点数。因为存在负环会让spfa判断两点间权时每经过一次就让总和越变越小，于是重复更新，重复入队
来看代码
bool spfa(int s1) {for(int i = 1; i <= n+1; i++) {dis[i] = 2147483647;cnt[i] = 0;inq[i] = false;}dis[s1] = 0;q.push(s1);inq[s1] = true;cnt[s1]++;int x;while(!q.empty()) {x = q.front();q.pop();inq[x] = false;for(int i = head[x]; i; i = ne[i]) {if(dis[to[i]] > dis[x] + w[i]) {dis[to[i]] = dis[x] + w[i];if(!inq[to[i]]) {q.push(to[i]);inq[to[i]] = true;cnt[to[i]]++;if(cnt[to[i]] > n) {return true;}}}}}return false;
}很常规，如果你不知道基础的spfa，可以看一下前几期的博客最短路spfa和多层图（P1073 [NOIP 2009 提高组] 最优贸易）题解-CSDN博客
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很好，既然如此，我们来写一道模板
P5960 【模板】差分约束 - 洛谷
先来看一下如何建边，我们得到的等式是差小于一个常数。根据我们上面梳理的内容，我们要先转化为一个数小于等于一个和。也就是x_c1≤x_c1'+y_1
令x_c1=a,x_c1'=b,y1=c，所以我们对于第一个等式，建边就是add(b,a,c)
同时，我们要建立一个“超级节点”，确保这个节点和整个图上的所有节点都有边相连，因为图不一定是连通图，spfa有可能扫不到有些点
差不多这样，AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int read(){int s=0,fl=1;char w=getchar();while(w>'9'||w<'0'){if(w=='-')fl=-1;w=getchar();}while(w<='9'&&w>='0'){s=s*10+(w^48);w=getchar();}return fl*s;
}
void out(int x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x<10)putchar(x+'0');else out(x/10),putchar(x%10+'0');
}
int n,m;
bool inq[100010];
int head[100010],to[100010],ne[100010],w[100010],tot;
int dis[100010],cnt[100010];
queue<int>q;
void add(int x,int y,int v){to[++tot]=y;ne[tot]=head[x];head[x]=tot;w[tot]=v;
}
bool spfa(int s1) {for(int i = 1; i <= n+1; i++) {dis[i] = 2147483647;cnt[i] = 0;inq[i] = false;}dis[s1] = 0;q.push(s1);inq[s1] = true;cnt[s1]++;int x;while(!q.empty()) {x = q.front();q.pop();inq[x] = false;for(int i = head[x]; i; i = ne[i]) {if(dis[to[i]] > dis[x] + w[i]) {dis[to[i]] = dis[x] + w[i];if(!inq[to[i]]) {q.push(to[i]);inq[to[i]] = true;cnt[to[i]]++;if(cnt[to[i]] > n) {return true;}}}}}return false;
}int main(){n=read();m=read();for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,c;a=read();b=read();c=read();add(b,a,c);}for(int i=1;i<=n;i++){add(n+1,i,0);}if(spfa(n+1)){cout<<"NO";return 0;}for (int i = 1; i <= n; i++){printf("%d ", dis[i]);}return 0;
}双倍经验
P1993 小 K 的农场 - 洛谷
国际惯例先骗分，全输出No有85分
来正经做
根据题目，我们能列出三个不等式
还有一个就是相等，移项后可得一个减去另一个=0；也就是这条边的边权为0
其实就很简单了，建图要满足第一个等式，我们只需要两边都乘上-1就能改变不等号的方向。
直接上代码吧，其他都是一样的
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int read(){int s=0,fl=1;char w=getchar();while(w>'9'||w<'0'){if(w=='-')fl=-1;w=getchar();}while(w<='9'&&w>='0'){s=s*10+(w^48);w=getchar();}return fl*s;
}
void out(int x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x<10)putchar(x+'0');else out(x/10),putchar(x%10+'0');
}
int n,m,a,b,c,tot;
int head[1000010],ne[1000010],to[1000010],w[1000010];
int d[1000010],cnt[1000010];
bool inq[1000010];
queue<int>q;
void add(int x,int y,int c){to[++tot]=y;ne[tot]=head[x];head[x]=tot;w[tot]=c;
}
bool spfa(int s){for(int i=1;i<=n+1;i++){d[i]=1e18;inq[i]=false;cnt[i]=0;}d[s]=0;q.push(s);inq[s]=true;cnt[s]++;int x;while(!q.empty()){x=q.front();q.pop();inq[x]=false;for(int i=head[x];i;i=ne[i]){if(d[to[i]]>w[i]+d[x]){d[to[i]]=w[i]+d[x];if(!inq[to[i]]){q.push(to[i]);inq[to[i]]=true;cnt[to[i]]++;if(cnt[to[i]]>n){return true;}}}}}return false;
}
int main(){n=read();m=read();for(int i=1;i<=m;i++){int op=read();if(op==1){a=read();b=read();c=read();add(a,b,-c);}else if(op==2){a=read();b=read();c=read();add(b,a,c);}else{a=read();b=read();add(a,b,0);add(b,a,0);}}for(int i=1;i<=n;i++){add(n+1,i,0);}if(spfa(n+1)){cout<<"No";return 0;}cout<<"Yes";return 0;
}