【计算机数学】关于全概率和贝叶斯公式的使用场景说明

全概率公式

全概率公式：首先建立一个完备事件组的思想,其实全概就是已知第一阶段求第二阶段,比如第一阶段分$A$、$B$、$C$三种,然后$A$、$B$、$C$中均有$D$发生的概率,最后让你求$D$的概率
$$P(D)=P(A)\ast P(D|A)+P(B)\ast P(D|B)+P(C)\ast P(D|C）$$

贝叶斯公式

贝叶斯公式：其实原本应该叫逆概公式,为了纪念贝叶斯这样取名而已.在全概公式理解的基础上,贝叶斯其实就是已知第二阶段反推第一阶段,这时候关键是利用条件概率公式做个乾坤大挪移,跟上面建立的$A$、$B$、$C$、$D$模型一样,已知$P(D)$,求是在$A$发生下$D$发生的概率,这就是贝叶斯
$$P(A|D)=\frac{P(AD)}{P(D)}=\frac{P(A)\ast P(D|A)}{P(D)}$$

例题

甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为50%和60%。

问题：
（1）甲乙同时射击，求命中率；
（2）甲乙先取一人，由其射击，求命中率；
（3）甲乙先取一人，由其射击，已知目标被命中，求是甲命中的概率。

解：
设 事件A={甲中}A=\{甲中\}A={甲中}，事件B={乙中}B=\{乙中\}B={乙中}，事件C={命中}C=\{命中\}C={命中}。$P(A)=50$,$P(B)=60$,$C=A+B$
（1）
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}P(C)& =P(A+B)\\ & =P(A)+P(B)-P(AB)\\ & =P(A)+P(B)-P(A)P(B)\\ & =0.8\end{array}\end{array}$$;
（2）令A1={选甲}A_1 = \{选甲\}A1​={选甲}，A2={选乙}A_2 = \{选乙\}A2​={选乙}，则$P(A_1)=\frac{1}{2},P(A_2)=\frac{1}{2}$;
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}P(C)& =P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)\\ & =0.55\end{array}\end{array}$$
（3）
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}P(A_1|C)& =\frac{P(A_{1}C)}{P(C)}\\ & =\frac{P(A_1)P(C|A_1)}{P(C)}\\ & =\frac{P(A_1)P(C|A_1)}{P(A_1)P(C|A_1)+P(A_2)P(C|A_2)}\end{array}\end{array}$$
注：一个问题分了两步，如果解决第二步，求第二步的概率要使用全概率公式；而要解决第一步的概率，要使用贝叶斯公式。