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数据结构：在二叉搜索树中插入元素（Insert in a BST）

news 2025/8/19 11:43:49

插入的本质是什么？

如何寻找“合法”的位置？—— 模拟查找过程

递归插入（Recursive Insert）—— 优雅的实现

代码逐步完善

总结

上一节我们从第一性原理搞清楚了二叉搜索树（BST）是什么，以及为什么要有它。现在，我们来解决下一个核心问题：如何向一个已有的 BST 中插入一个新元素？

插入的本质是什么？

我们有一个新数字，比如 10，要把它插入到上次创建的这棵树里：

数据结构：二叉搜索树（Binary Search Tree）-CSDN博客

    15/  \8    20/ \
3   12

在动手之前，我们必须牢记 BST 的唯一天条（The Golden Rule）：

对于任何节点，其左子树的所有值都比它小，右子树的所有值都比它大。

所以，插入一个新节点，本质上就两个步骤：

找到一个“合法”的位置：这个位置必须能容纳新节点，并且新节点放进去之后，整棵树依然要满足 BST 的“天条”。
执行插入动作：把新节点安家落户在这个位置上。

如何寻找“合法”的位置？—— 模拟查找过程

这个寻找位置的过程，其实和我们查找一个数的过程一模一样。我们就像这个新来的数字 10，要在这棵树里找个家。

    15/  \8    20/ \
3   12

从根节点 15 开始问路：

10 小于 15 (10 < 15)。
根据天条，10 的家一定在 15 的左子树里。我们往左走。

来到节点 8：

10 大于 8 (10 > 8)。
根据天条，10 的家一定在 8 的右子树里。我们往右走。

来到节点 12：

10 小于 12 (10 < 12)。
根据天条，10 的家一定在 12 的左子树里。我们往左走。

12 的左边是什么？

是 NULL！一个空位！
这是一个“死胡同”，我们没法再往下走了。

这个“死胡同”（NULL 指针）就是我们梦寐以求的“合法”位置。为什么？

把它放在这里，它会成为 12 的左孩子。因为 10 < 12，这满足了对于节点 12 的天条。
同时，10 > 8，10 < 15，它也满足了对于它所有祖先节点的天条。
最重要的是，把它放在一个 NULL 的位置，作为一个新的叶子节点，我们不需要改动树中任何其他节点的现有连接关系，这是成本最低的操作！

新节点插入的位置，必然是树中某个节点的 NULL 的 left 或 right 指针所在的位置。寻找这个位置的过程，就是一个模拟查找的过程。

递归插入（Recursive Insert）—— 优雅的实现

现在我们用代码来实现这个逻辑。递归是处理树结构最自然、最优雅的方式。

递归的思想： 我们把一个大问题，分解成一个性质相同、但规模更小的子问题。对于插入操作：

大问题：在以 root 为根的整棵树中插入 value。
子问题：
- 如果 value < root->data，问题就缩小为：在以 root->left 为根的左子树中插入 value。
- 如果 value > root->data，问题就缩小为：在以 root->right 为根的右子树中插入 value。

这个分解过程什么时候结束呢？—— 当我们遇到一个 NULL 的节点时，也就是找到了那个“死胡同”，这就是递归的基本情况（Base Case）。

代码逐步完善

函数签名和基本情况 (Base Case)

首先，我们需要一个函数。它应该做什么？

它需要知道从哪个节点开始（Node* root）。
它需要知道要插入的值是多少（int value）。
当插入完成后，树的结构可能发生变化（比如，从一棵空树变成有一个节点的树），所以这个函数必须返回新树的根节点指针。

#include <cstddef> // 为了 NULLstruct Node {int data;Node* left;Node* right;Node(int value) {data = value;left = right = NULL;}
};/** 函数功能：向以 root 为根的树中插入 value* 返回值：  返回插入新节点后，树（或子树）的根节点*/
Node* insert(Node* root, int value) {// 基本情况 (Base Case):// 如果当前的 root 是 NULL (无论是整棵树为空，还是我们已经走到了一个“死胡同”)// 这就是我们要插入新节点的地方。if (root == NULL) {// 创建一个新节点，它自己就是一棵子树return new Node(value);}// ... 递归的步骤还没写 ...
}

思考一下 return new Node(value); 这一行。

它返回一个指向新创建节点（值为value）的指针。谁会接收这个指针呢？是上一层的函数调用。我们马上就能看到。

加入递归步骤

现在，如果 root 不是 NULL，我们就需要决定是往左还是往右。

Node* insert(Node* root, int value) {if (root == NULL) {return new Node(value);}// 递归步骤 (Recursive Step):if (value < root->data) {// 新值应该插入到左子树中// 我们递归调用 insert，让它去处理左子树的问题// **关键一步**: 递归调用返回的结果(可能是新的左子树的根)//            必须被连接到当前节点的左指针上！root->left = insert(root->left, value);} else if (value > root->data) {// 新值应该插入到右子树中// 同理，连接到当前节点的右指针上root->right = insert(root->right, value);}// ... 还有一种情况：value == root->data ...// ... 以及，这个函数在递归调用后应该返回什么？...
}

我们来剖析 root->left = insert(root->left, value); 这句代码，它是递归插入的精髓。

假设我们要在节点 12 的左边插入 10。

    15/  \8    20/ \
3   12

当前 root 是 12。value 是 10。
10 < 12，所以执行 root->left = insert(root->left, value);
此时 root->left 是 NULL。所以 insert(NULL, 10) 被调用。
根据我们的基本情况，insert(NULL, 10) 会 new Node(10) 并返回指向这个新节点的指针。
这个返回的指针，被赋值给了 root->left (也就是 12 的 left 指针)。
效果达成：新节点 10 被成功地连接为了 12 的左孩子。

处理重复值并完成函数

标准的 BST 通常不允许重复值。如果待插入的值和当前节点的值相等，我们什么都不做，直接返回。

最后，如果当前节点不是 NULL，并且完成了对子树的插入操作后，当前节点本身（root）的地址没有变，所以我们要把它返回给它的上层调用，以保持树的连接。

/** 函数功能：向以 root 为根的树中插入 value* 返回值：  返回插入新节点后，树（或子树）的根节点*/
Node* insert(Node* root, int value) {// 基本情况：如果当前节点是 NULL，说明找到了插入位置。if (root == NULL) {// 创建新节点并返回，上一层的调用会把它连接到树中。return new Node(value);}// 递归步骤：if (value < root->data) {// 向左子树递归插入root->left = insert(root->left, value);} else if (value > root->data) {// 向右子树递归插入root->right = insert(root->right, value);}// else (value == root->data) 的情况:// 我们选择什么都不做，因为不允许重复值。// 将当前的（可能未改变的）根节点指针返回给上一层。// 这一步确保了树中未受影响部分的连接保持不变。return root;
}

如何使用这个函数？

主调函数需要一个 Node* 变量来保存整棵树的根。每次插入，都需要用这个变量来接收 insert 函数的返回值，以防根节点发生改变（比如第一次插入时）。

#include <iostream>// (这里是 Node 结构体和 insert 函数的定义)// 为了方便观察，我们写一个中序遍历函数来打印树
void inorderTraversal(Node* root) {if (root == NULL) {return;}inorderTraversal(root->left);std::cout << root->data << " ";inorderTraversal(root->right);
}int main() {Node* root = NULL; // 一开始，树是空的// 第一次插入，root 会从 NULL 变成新节点的地址root = insert(root, 15);root = insert(root, 8);root = insert(root, 20);root = insert(root, 3);root = insert(root, 12);// 现在我们插入新值 10std::cout << "插入 10 之前的中序遍历: ";inorderTraversal(root); // 输出: 3 8 12 15 20 std::cout << std::endl;root = insert(root, 10);std::cout << "插入 10 之后的中序遍历: ";inorderTraversal(root); // 输出: 3 8 10 12 15 20 std::cout << std::endl;// 尝试插入一个重复的值 12root = insert(root, 12);std::cout << "插入重复值 12 之后的中序遍历: ";inorderTraversal(root); // 输出: 3 8 10 12 15 20 (没有变化)std::cout << std::endl;return 0;
}

注意：inorderTraversal 只是为了验证我们插入的正确性，它本身也是递归的一个经典应用。

总结

第一性原理：插入操作必须维护 BST 的“左小右大”核心性质。
推导：最简单、成本最低的插入位置是某个叶子节点的 NULL 孩子位置。这个位置可以通过模拟“查找”过程来找到。
递归实现：
- Base Case (基本情况)：当前节点为 NULL。这是递归的终点，也是新节点被创建和“返回”的地方。
- Recursive Step (递归步骤)：比较新值和当前节点的值，决定向左还是向右“委托”任务（递归调用）。
- 关键连接：root->left = insert(root->left, ...) 是实现连接的核心。它用递归调用的返回值（可能是新节点，也可能是原来的子树根）来更新自己的孩子指针。
- 返回值：函数必须返回根节点指针，以确保调用者能正确地更新树的结构。