博弈论07——Lemke-Howson 算法

Best response Diagrams 最佳响应图

示例

对于玩家$I$

玩家$I$的最佳响应图

对于玩家$II$，


玩家$II$的最佳响应图

给图表/结果加上标签，用来标明某个纯策略的选择概率为 0 的情况（红蓝是对应玩家，没有别的含义）

Note1: 标签的打法是，对于玩家本身的策略，是概率问题。对于对位玩家的策略，概率 = 0 打标签。比如左图，$y_5=100\%$ 是玩家$II$选择策略5，这点标签是 $4$，因为 $y_4=0$。

Note 2：左图 {1，2，3}是段，{4，5}是点。右图{4，5}是面，{1，2，3}是边。

现在，其中一个图中的标签表示策略的概率为 0，或者表示策略是最佳响应。例如，第一个图中的标签 5 表示策略 5 的概率为 0，而第二个图中的标签 5 表示策略 5 何时是对玩家 I 的混合策略的最佳回应。因此，为了使这些图中的一对点对应于纳什均衡，我们必须确保这对点覆盖所有 5 个标签。如果是这样，那么我们才具有任何一个属性，即任何一个玩家的每种纯策略要么是最好的回应，要么是概率为 0。下面标记了纳什均衡的一个例子。

左图中的点涵盖标签 2 和 3，右图中的点涵盖标签 1、4 和 5。所以所有 5 个标签都被覆盖了。由此这一对便是纳什均衡。

Best response polytopes 最佳响应多面体

还是这个示例

对于玩家$I$的最佳响应图

可以绘制玩家$I$ 在三种纯策略中分别获得的预期收益（下图中标记为$v$），并取其中的最大值（上包络线）

最大预期收益上方的区域称为最佳响应多面体 $H$。由于 $H$ 由位于三个预期收益函数上方的所有点组成，因此我们也可以用代数方式将点集 $H$ 描述为

为了获得最佳响应多面体 $Q$，现在将多面体 $H$ 投影到水平面上其中 $v=1$，此操作与简单地将 H 的代数描述中的不等式除以 $v$ 并 删除 $y_4+y_5=1$ 的限制相同。

描述同一集合的更简洁的方式是 $Q=y|Ay\le 1,y\ge 0$，其中 $A$ 是玩家 $I$ 的收益矩阵。这个 $Q$ 是玩家的最佳响应多面体，如下所示。

上图都是线段，显然{4，5}是为0的策略，因为策略 $y_4$和 $y_5$本来就平行，不可能相交。所以这个直角点也是起点。

同理，对于玩家$II$，
最佳响应图

最佳响应体

简略版

这个{1，2，3}标签都是面，概率都是0，对应的都是对面轴。尤其是这个$3$，是底面，这是一个五面多面体3D立体图（上图）。没想到吧，3是底面，都给我整笑了。

Lemke-Howson algorithm Lemke-Howson算法

上述准备工作做完了，如下图

这个算法是干嘛的？找混合纳什均衡（Mixed Nash Equilibrium）

算法	解决什么
迭代消除主导策略、迭代消除弱主导策略、best response画框法	纯纳什均衡
极大极小（maxmin = minmax）定理	双人零和博弈的混合纳什均衡
Lemke-Howson 算法	一般双人博弈（不一定是零和）混合纳什均衡

过程

起点：两个图同时都要有起点，起点选人工标记点（the artificial fully labeled pair of points）。如上图中的绿色圆点。因为左图标签4和5不可能相交，右图1，2，3不可能相交。选这两个。
也可以不选人工标记点，只要能覆盖全标签{1，2，3，4，5}就行

第一对纳什均衡

1.1 drop 标签3

玩家$I$： {4，5}
玩家$II$： {1，2，3}

drop 3 随便选的
drop 3什么意思？
现在哪个点有标签3，移动这个点，让它没有3。
现在只有玩家$II$有3，移动玩家$II$的点，只有{1，2，4}这个点没有3。

此时

玩家$I$： {4，5}
玩家$II$： {1，2，4}

1.2 drop 标签4

因为标签4重叠了，drop 4
玩家$II$相邻点都有标签4。移动玩家$I$。

此时

玩家$I$： {1，5}
玩家$II$： {1，2，4}

1.3 drop 标签1

因为标签1重叠了，drop 1
玩家$I$不能走回头路，还有一条路，依旧有标签1。移动玩家$II$。

此时

玩家$I$： {1，5}
玩家$II$： {2，3，4}
found a fully labeled pair of points, whichcorresponds to a Nash equilibrium. 找到了一对完全标记的点，这对应于纳什均衡。

第二对纳什均衡

2.1 drop 标签2

玩家$I$： {4，5}
玩家$II$： {1，2，3}

drop 2 随便选的

此时

玩家$I$： {4，5}
玩家$II$： {1，3，5}

2.2 drop 标签5

此时

玩家$I$： {3，4}
玩家$II$： {1，3，5}

2.3 drop 标签3

此时

玩家$I$： {3，4}
玩家$II$： {1，4，5}

2.4 drop 标签4

此时

玩家$I$： {2，3}
玩家$II$： {1，4，5}
nash均衡

第三对纳什均衡

上图起点是人工的时候，有5条路可走。上面走了2条，其他3条，经过尝试，结果都和上面2条结果相同。所以，
不一定必须从人工点开始
如果你 事先已经知道某个 fully labeled 点（比如通过别的算法/手算/对称性），也可以直接从那里开始，然后 drop 一个标签，走路径，最后会到达 另一个 fully labeled 点（也就是另一个纳什均衡）。

3.1 drop 标签3

以上面得到的纳什均衡点为起点

玩家$I$： {2，3}
玩家$II$： {1，4，5}

此时

玩家$I$： {1，2}
玩家$II$： {1，4，5}

3.2 drop 标签1

此时

玩家$I$： {1，2}
玩家$II$： {3，4，5}
纳什均衡

结果

一共三对

Note:
1 起点是人工标记点，后再从纳什均衡点出发作为起点，找；
2 不走回头路；
3 一次走一步，到邻接节点；
4 不同的drop可能会得到相同的结果。

Complementary pivoting 互补枢纽

还是这个示例

对于玩家$I$


用$y_1,y_2,y_3$把数据补上，变成$=1$。

把可以为0的放在左边。

同理，两个玩家就是：
可以从对应于人工完全标记点对的字典开始

我们任意选择一个标签来放置。我们先放置标签 3。
$x_3$从0开始逐渐变大，$1/4$的时候 $x_4$先为0，$1/3$的时候$x_5$再为0。所以更替的是$x_4$
$$\begin{gathered} x_4=1-x_1-4x_3 \\ 4x_3=1-x_1-x_4 \end{gathered}$$
$$x_3=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}{x}_1-\frac{1}{4}{x}_4$$
又因为
$$x_5=1-2x_2-3x_3$$
代入$x_3$，
$$\begin{gathered} =1-2x_2-3(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}{x}_1-\frac{1}{4}{x}_4) \\ =1-2x_2-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}{x}_1+\frac{3}{4}{x}_4 \\ =\frac{1}{4}+\frac{3}{4}{x}_1-2x_2+\frac{3}{4}{x}_4 \end{gathered}$$

发现在左边，缺标签4。drop 标签4。看右边，1\3更小。再次进行同上的操作。

欧克，两边的右侧标签齐了。得到了纳什均衡。
理解一下这个过程就行了，确实有点恶心。