莫队 + 离散化 Ann and Books

题目链接：Problem - F - Codeforces

题目大意：

n (n <= 1e5) 本书，一类是数学书一类是经济书，每本书上都有若干道题目 (ai <= 1e9)。

q (q <= 1e5) 次查询，每次查询一段区间 [l,r] ，求 [l,r] 内所有满足 " 数学书的题目数量之和 - 经济书的题目数量之和 = k " （每个询问的 k 都是同一个固定值）的所有子区间的数量。

Solution：

无修改，区间查询，k 值固定，可以离线，又想到莫队了。

首先肯定预处理经济书的数目为负值，这样我们就可以简化问题为：一段连续区间的和 = k 。

于是可以前缀和快速计算，下面记作 pre 数组。

考虑移动区间时如何计算答案的变化，先考虑 add 操作，sub 操作就是逆过程。

1. 当前区间 [l,r] ，添加 r+1 （下面记作 x）这个位置的值，计算对答案增加的贡献：

    增加的贡献就是 "后缀和 = k" 的子区间的数目。

    即：pre[x] - pre[i-1] == k  ->  pre[i-1] == pre[x] - k  ( i-1   [l-1,r] )

2. 当前区间 [l,r] ，添加 l-1 （下面记作 x）这个位置的值，计算对答案增加的贡献：   

    增加的贡献就是 "前缀和 = k" 的子区间的数目。

    即：pre[i] - pre[x-1] == k  ->  pre[i] == pre[x-1] + k  ( i   [l-1,r] )

于是问题就转化为了：维护区间内 pre[i] 等于 "pre[x] - k" 和 "pre[x-1] + k" 的 i 的个数，我们可以维护 [l,r] 范围内的，至于 l-1 这样边界的地方特判就好了。sub 就是逆过程。

还有个问题是，用 map 直接维护会多带一个 log ，而开一个 int 类型的桶又会超空间。

注意到无修改且 k 固定的情况下，每个位置 i 要维护的就只是 pre[i] + k 和 pre[i] - k，因此所有要维护的值不会很多，因此用离散化预处理后就可以开个 int 类型的桶维护了。

还有个细节是我们在 第二种情况 里，有一项是 "pre[x-1] + k" ，当x = 1的时候 x-1 = 0，也就是说我们还需要维护 0 这个位置的贡献，要把 -k，0，k 这三个数都放进去一起离散化。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;#define N 100005int n,m,p,B,bel[N];
long long k,w[N],b[N],c[N * 3],pre[N],ans[N],res,cnt[N * 3];struct Node
{int id0,id1,id2;
}a[N * 3];struct Query
{int l,r,id;
}q[N];int get(long long x) { return lower_bound(c + 1,c + m + 1,x) - c ;}int cmp(Query x,Query y)
{if(bel[x.l] == bel[y.l]) return x.r < y.r ;return x.l < y.l ;
}void add(int x,int op)
{if(!op) res += cnt[a[x - 1].id2];else res += cnt[a[x].id0];++ cnt[a[x].id1];return;
}void sub(int x,int op)
{-- cnt[a[x].id1];if(!op) res -= cnt[a[x - 1].id2];else res -= cnt[a[x].id0];return;
}int main()
{memset(cnt,0,sizeof cnt);scanf("%d%lld",&n,&k),pre[0] = res = 0ll,m = 0;for (int i = 1;i <= n;++ i) scanf("%lld",&b[i]);for (int i = 1;i <= n;++ i){scanf("%lld",&w[i]);if(b[i] == 2) w[i] = -1ll * w[i];pre[i] = pre[i - 1] + w[i];c[++ m] = pre[i] - k;c[++ m] = pre[i];c[++ m] = pre[i] + k;}c[++ m] = -k;c[++ m] = 0ll;c[++ m] = k;sort(c + 1,c + m + 1);m = unique(c + 1,c + m + 1) - c - 1;for (int i = 0;i <= n;++ i)a[i].id0 = get(pre[i] - k),a[i].id1 = get(pre[i]),a[i].id2 = get(pre[i] + k);scanf("%d",&p);B = (int)sqrt(n);for (int i = 1;i <= p;++ i){scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);q[i].id = i;bel[i] = (i - 1) / B + 1;}sort(q + 1,q + p + 1,cmp);int l,r;l = 1,r = 0;for (int i = 1;i <= n;++ i){while (l > q[i].l) add(-- l,0),res += (w[l] == k);while (l < q[i].l) res -= (w[l] == k),sub(l ++,0);while (r < q[i].r) add(++ r,1),res += (pre[l - 1] == pre[r] - k);while (r > q[i].r) res -= (pre[l - 1] == pre[r] - k),sub(r --,1);ans[q[i].id] = res;}for (int i = 1;i <= p;++ i) printf("%lld\n",ans[i]);return 0;
}