【LeetCode 热题 100】295. 数据流的中位数——最大堆和最小堆

Problem: 295. 数据流的中位数
中位数是有序整数列表中的中间值。如果列表的大小是偶数，则没有中间值，中位数是两个中间值的平均值。
例如 arr = [2,3,4] 的中位数是 3 。
例如 arr = [2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5 。
实现 MedianFinder 类:
MedianFinder() 初始化 MedianFinder 对象。
void addNum(int num) 将数据流中的整数 num 添加到数据结构中。
double findMedian() 返回到目前为止所有元素的中位数。与实际答案相差 10-5 以内的答案将被接受。

整体思路

这段代码旨在解决一个经典的数据结构设计问题：数据流中的中位数 (Find Median from Data Stream)。问题要求设计一个数据结构，它能支持两个操作：addNum（从数据流中添加一个整数）和 findMedian（返回当前所有数字的中位数）。

该实现采用了一种非常经典且高效的 双堆（Dual Heaps） 方法。它巧妙地利用两个优先队列（堆）来动态维护数据流的中位数。

1. 核心思想：分割数据流

   • 算法将所有已添加的数字逻辑上分为两部分：
     • 较小的一半：存储在一个 最大堆 (Max Heap) left 中。
     • 较大的一半：存储在一个 最小堆 (Min Heap) right 中。
   • 通过这种方式，left 堆的堆顶元素是“较小一半”中的最大值，而 right 堆的堆顶元素是“较大一半”中的最小值。这两个堆顶元素就构成了整个数据流的“中心”。

2. 维护两个不变量：

   • 不变量1（数值关系）：left 堆中的所有元素都小于或等于 right 堆中的所有元素。
   • 不变量2（数量关系）：left 堆的大小总是等于或比 right 堆大 1。即 left.size() == right.size() 或 left.size() == right.size() + 1。

3. addNum(int num) 方法的实现：

   • addNum 方法的核心任务是在添加新元素 num 后，依然维持上述两个不变量。
   • 当两堆大小相等时 (left.size() == right.size())：
     • 我们期望最终 left 堆比 right 堆多一个元素。
     • 为了维护数值关系，不能直接将 num 加入 left。一个巧妙的操作是：先将 num 加入 right 堆，然后从 right 堆中弹出最小值（即 right.poll()），再将这个最小值加入 left 堆。
     • 这个“中转”操作确保了新加入 left 堆的元素一定是“较大一半”中的最小值，从而维持了 left 所有元素 <= right 所有元素的不变量。
   • 当 left 比 right 多一个元素时 (left.size() > right.size())：
     • 我们期望最终两堆大小相等。
     • 类似地，先将 num 加入 left 堆，然后从 left 堆中弹出最大值（left.poll()），再将这个最大值加入 right 堆。
     • 这个操作确保了新加入 right 堆的元素一定是“较小一半”中的最大值，维持了不变量。

4. findMedian() 方法的实现：

   • findMedian 的实现非常简单，直接利用了双堆的结构和不变量。
   • 如果数据总数为奇数：left 堆会比 right 堆多一个元素。此时，中位数就是 left 堆的堆顶元素 left.peek()。
   • 如果数据总数为偶数：left 堆和 right 堆大小相等。此时，中位数是 left 堆的堆顶（“较小一半”的最大值）和 right 堆的堆顶（“较大一半”的最小值）的平均值。

完整代码

class MedianFinder {// left: 一个最大堆，用于存储数据流中较小的一半元素。// Java的PriorityQueue默认是最小堆，通过自定义比较器 (a, b) -> b - a 实现最大堆。private final PriorityQueue<Integer> left = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);// right: 一个最小堆，用于存储数据流中较大的一半元素。// 默认构造函数创建的就是最小堆。private final PriorityQueue<Integer> right = new PriorityQueue<>();/** 构造函数，无需特殊操作。*/public MedianFinder() {}/*** 向数据结构中添加一个整数。* @param num 要添加的数字*/public void addNum(int num) {// 目标：维持 left.size() == right.size() 或 left.size() == right.size() + 1// 当前总数为偶数，添加后将变为奇数。目标是让 left 比 right 多一个。if (left.size() == right.size()) {// 为了维持 left 中所有元素 <= right 中所有元素的不变量：// 1. 先将 num 加入 right 堆。right.offer(num);// 2. 从 right 堆中弹出最小值，并将其加入 left 堆。//    这样保证了新加入 left 的元素是正确的。left.offer(right.poll());} else { // 当前总数为奇数，添加后将变为偶数。目标是让两堆大小相等。// 类似地，为了维持不变量：// 1. 先将 num 加入 left 堆。left.offer(num);// 2. 从 left 堆中弹出最大值，并将其加入 right 堆。right.offer(left.poll());}}/*** 返回当前数据流的中位数。* @return 中位数*/public double findMedian() {// 如果总数为奇数，left 堆会多一个元素，中位数就是 left 堆顶。if (left.size() > right.size()) {return left.peek();}// 如果总数为偶数，两堆大小相等，中位数是两个堆顶的平均值。// 注意要除以 2.0 来确保结果是浮点数。return (left.peek() + right.peek()) / 2.0;}
}/*** Your MedianFinder object will be instantiated and called as such:* MedianFinder obj = new MedianFinder();* obj.addNum(num);* double param_2 = obj.findMedian();*/

时空复杂度

假设已经向数据结构中添加了 N 个数字。

时间复杂度：

1. addNum(int num): O(log N)

   • 该方法主要包含堆的插入 (offer) 和删除 (poll) 操作。
   • PriorityQueue 在Java中是基于二叉堆实现的。对于一个大小为 k 的堆，插入和删除操作的时间复杂度都是 O(log k)。
   • 在我们的实现中，left 堆和 right 堆的大小都约等于 N/2。
   • 因此，addNum 方法执行的操作（如 right.offer, right.poll, left.offer）的时间复杂度都是 O(log(N/2))，这等价于 O(log N)。

2. findMedian(): O(1)

   • 该方法只需要访问两个堆的堆顶元素 (peek)。
   • 访问堆顶元素是一个常数时间操作。
   • 因此，findMedian 的时间复杂度是 O(1)。

空间复杂度：O(N)

1. 主要存储开销：算法的主要空间开销来自于两个优先队列 left 和 right。
2. 空间大小：这两个堆共同存储了所有已添加的 N 个数字。
3. 综合分析：
   • left 堆存储约 N/2 个元素，right 堆存储约 N/2 个元素。
   • 因此，总的空间复杂度与已添加的数字数量 N 成线性关系，即 O(N)。

参考灵神