机器学习数学基础：46.Mann-Kendall 序贯检验（Sequential MK Test）
Mann-Kendall 序贯检验（Sequential MK Test）详解
Mann-Kendall 序贯检验与整体趋势检验同属 MK 方法体系，但应用场景和计算目标不同。整体检验聚焦“整个序列是否有显著趋势”，而序贯检验则用于检测趋势的“突变点”（即趋势何时开始显著），并追踪趋势的演变过程。
一、核心区别与联系
| 对比维度 | 整体 MK 检验 | 序贯 MK 检验 |
|---|---|---|
| 方法定位 | 判断“整个时间序列是否存在显著趋势” | 不仅判断趋势，还追踪“趋势何时开始显著”及“突变点”（趋势转折时间点） |
| 关键统计量 | 统计量 S 和 Z | 正序统计量 UFₖ、逆序统计量 UBₖ |
| 核心逻辑 | 基于全局数据的相对大小比较 | 基于正序、逆序数据的趋势交叉分析 |
| 联系 | 均为非参数检验，不依赖数据分布；核心思想均基于成对数据的相对大小比较 |
二、序贯检验的统计量（以 UFₖ 为例）
1. 定义
- mᵢ：第 i 个数据与前面所有数据（j≤i）比较时，xᵢ > xⱼ 的次数（即“正差异”次数）。
- dₖ：前 k 个数据的累积正差异数，即所有 i≤k 的 mᵢ 之和：
dₖ = Σ₍i=1⁾ᵏ mᵢ
2. 均值 E(dₖ) 和方差 Var(dₖ)
假设数据独立同分布（无趋势、无自相关）：
- 均值：前 k 个数据共 k(k-1)/2 对比较，每对 xᵢ > xⱼ 的概率为 0.5，因此：
E(dₖ) = k(k-1)/4 - 方差：需考虑“结”（相等值）和独立性，无结时公式为：
Var(dₖ) = k(k-1)(2k+5)/72
3. 标准化统计量 UFₖ
将 dₖ 标准化以消除量纲影响：
UFₖ =
{0(k=1),dk−E(dk)Var(dk)(2≤k≤n).\begin{cases}
0 & (k=1), \\
\frac{dₖ - E(dₖ)}{\sqrt{Var(dₖ)}} & (2≤k≤n).
\end{cases}{0Var(dk)dk−E(dk)(k=1),(2≤k≤n).
- 物理意义：
- UFₖ > 0：前 k 个数据呈现上升趋势；
- UFₖ < 0：前 k 个数据呈现下降趋势；
- 若 |UFₖ| 超过临界值（如 1.96，对应 α=0.05），则趋势显著。
三、序贯检验的完整逻辑：UF 与 UB 曲线
1. UBₖ 的计算
- 逆序计算：将原序列倒序后，重复 UFₖ 的计算步骤，得到倒序统计量 UFₖ’；
- 转换为 UBₖ：原序列的 UBₖ = -UF’ₙ₋ₖ₊₁（如 k=1 时，UB₁ = -UF’ₙ；k=n 时，UBₙ = -UF’₁）。
2. 突变点判断
通过 UFₖ 和 UBₖ 曲线的交叉点判断突变点：
- 若两条曲线在临界值（如 ±1.96，对应 α=0.05）之间交叉，交叉年份即为趋势突变的时间点。
四、序贯检验的操作步骤
步骤 1：数据准备
- 输入：时间序列 {xᵢ}（i=1~n，n≥10，建议无缺失值；若有重复值，需记录“结”的信息）。
- 目标：计算 UFₖ（正序趋势）和 UBₖ（逆序趋势），通过曲线交叉定位突变点。
步骤 2：计算正序统计量 UFₖ
- 计算 mᵢ 和 dₖ：按定义逐点计算每个 i 的 mᵢ，再累积得到 dₖ；
- 计算 E(dₖ) 和 Var(dₖ)：使用上述公式；
- 标准化得到 UFₖ：按 UFₖ 公式计算。
步骤 3：计算逆序统计量 UBₖ
- 倒序序列：将原序列反转，得到 {x’ᵢ} = {xₙ, xₙ₋₁, …, x₁}；
- 计算倒序的 UFₖ’：对倒序序列重复步骤 2；
- 转换为 UBₖ：UBₖ = -UF’ₙ₋ₖ₊₁。
步骤 4：突变点与趋势判断（绘图分析）
- 绘图：横轴为时间（1~n），纵轴为 UFₖ（蓝色，正序）和 UBₖ（红色，逆序），并添加临界值线 ±1.96；
- 趋势判断：
- UFₖ > 1.96：显著上升趋势；
- UFₖ < -1.96：显著下降趋势；
- 突变点判断：UFₖ 和 UBₖ 在临界值之间的交叉点，即为趋势突变的时间点（需结合专业知识解释是否为“真实突变”）。
五、示例：某地区年降水量的序贯检验分析
1. 数据准备
某地区 2013-2022 年的年降水量（单位：毫米）：
| 年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 降水量 | 800 | 820 | 780 | 850 | 830 | 880 | 900 | 860 | 920 | 950 |
2. 计算正序统计量 UFₖ
-
计算 mᵢ 和 dₖ：
- k=1：m₁=0，d₁=0；
- k=2：x₂=820 > x₁=800 → m₂=1，d₂=0+1=1；
- k=3：x₃=780 < x₁、x₂ → m₃=0，d₃=1+0=1；
- 以此类推，得到所有 dₖ。
-
计算 E(dₖ)、Var(dₖ) 和 UFₖ：
例如 k=3 时：
E(d₃)=3×2/4=1.5，Var(d₃)=3×2×11/72≈0.917，
UF₃=(1-1.5)/√0.917≈-0.52。
3. 计算逆序统计量 UBₖ
- 倒序序列：950,920,860,900,880,830,850,780,820,800；
- 重复步骤 2 计算倒序的 UFₖ’，再转换为 UBₖ（UBₖ = -UF’ₙ₋ₖ₊₁）。
4. 结果分析
- 趋势判断：UFₖ > 0 表示上升趋势，UFₖ < 0 表示下降趋势；
- 显著性判断：|UFₖ| > 1.96 时，趋势显著；
- 突变点判断：UFₖ 与 UBₖ 在临界值之间的交叉点即为突变点（如交叉年份为 2018 年，需结合气候事件、政策等分析原因）。
六、关键注意事项
- 结的处理：若数据有重复值，需用修正方差公式（加入 Σtₚ(tₚ-1)(2tₚ+5) 项，tₚ 为第 p 组重复值的长度），否则可能低估方差，导致假阳性；
- 样本量：n<10 时，正态近似不成立，需用精确概率表判断显著性；
- 突变解释：交叉点仅表示趋势显著性的转折，需结合专业知识判断是否为“真实突变”。
通过序贯 MK 检验，可深入挖掘时间序列的趋势动态，为气候、环境等领域的决策提供支持。