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复数的复平面加减乘除运算与在极坐标中的运算对应关系

news 2025/8/9 9:20:01

复数的运算在复平面（直角坐标形式）和极坐标形式下有不同的表现方式。理解这两种表示方法之间的对应关系，有助于更直观地理解复数运算的几何意义。以下是详细的对比分析：

1. 复数的两种表示形式

复数 ( z ) 可以表示为：

直角坐标形式（复平面形式）：
$\quad (a, b \in \mathbb{R}, i^2 = -1)$
- $a$ ：实部（对应复平面的 $x$ -轴）
- $b$ ：虚部（对应复平面的 $y$ -轴）
极坐标形式：
$(\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i \theta}$
- $\sqrt{a^2 + b^2}$ ：模（复平面的距离）
- $θ=arg⁡(z)=arctan⁡(ba)\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ ：辐角（复平面的角度）

2. 复数运算的对应关系

(1) 加法

直角坐标形式：

$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + i (b_1 + b_2)$

几何意义：复平面上向量的平行四边形法则（直接相加实部和虚部）。

极坐标形式：

$z_1 + z_2 = r_1 e^{i \theta_1} + r_2 e^{i \theta_2}$

计算方法：通常需要先转换为直角坐标形式再相加，因为极坐标的加法没有简单的公式。
几何意义：无法直接通过模和辐角相加，必须分解为直角坐标计算。

结论：加法在直角坐标形式下更简单，极坐标形式不便于直接相加。

(2) 减法

直角坐标形式：

$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + i (b_1 - b_2)$

几何意义：复平面上向量的反向相加（类似于加法）。

极坐标形式：

$z_1 - z_2 = r_1 e^{i \theta_1} - r_2 e^{i \theta_2}$

计算方法：同样需要转换为直角坐标形式再相减。
几何意义：无法直接通过模和辐角相减。

结论：减法在直角坐标形式下更简单，极坐标形式不便于直接相减。

(3) 乘法

直角坐标形式：

$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i) = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i (a_1 b_2 + b_1 a_2)$

计算较复杂，需要展开并合并实部和虚部。

极坐标形式：

$z_1 \cdot z_2 = r_1 e^{i \theta_1} \cdot r_2 e^{i \theta_2} = r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)}$

模相乘： $r = r_1 r_2$
辐角相加： $θ=θ1+θ2\theta = \theta_1 + \theta_2$
几何意义：复数乘法相当于模相乘、角度相加（旋转并缩放）。

结论：乘法在极坐标形式下更简单，直接利用模和辐角的性质。

(4) 除法

直角坐标形式：

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = \frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{a_2^2 + b_2^2} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2} + i \frac{b_1 a_2 - a_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}$

计算较复杂，需要有理化分母。

极坐标形式：

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i \theta_1}}{r_2 e^{i \theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\theta_1 - \theta_2)}$

模相除： $\frac{r_1}{r_2}$
辐角相减： $θ=θ1−θ2\theta = \theta_1 - \theta_2$
几何意义：复数除法相当于模相除、角度相减（反向旋转并缩放）。

结论：除法在极坐标形式下更简单，直接利用模和辐角的性质。

3. 运算对应关系总结

运算	直角坐标形式（复平面）	极坐标形式	几何意义
加法	$a_1 + a_2) + i (b_1 + b_2)$	需转换为直角坐标	向量相加（平行四边形法则）
减法	$a_1 - a_2) + i (b_1 - b_2)$	需转换为直角坐标	向量相减
乘法	$a_1 a_2 - b_1 b_2) + i (a_1 b_2 + b_1 a_2)$	$r1r2ei(θ1+θ2)r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)}$	模相乘，角度相加（旋转+缩放）
除法	有理化分母计算	$r1r2ei(θ1−θ2)\frac{r_1}{r_2} e^{i (\theta_1 - \theta_2)}$	模相除，角度相减（反向旋转+缩放）

4. 直观理解

加法和减法：在复平面上直接对应向量的加减，极坐标形式不便于直接计算。
乘法和除法：极坐标形式更直观，因为：
- 乘法：模相乘（放大或缩小），角度相加（旋转）。
- 除法：模相除（缩小或放大），角度相减（反向旋转）。

5. 应用示例

(1) 乘法示例

设 $z_1 = 1 + i$ （模 $2\sqrt{2}$ ，角度 $45∘45^\circ$ ）， $z2=3+iz_2 = \sqrt{3} + i$ （模 $2$ ，角度 $30∘30^\circ$ ）：

直角坐标形式：
$z_1 z_2 = (1 + i)(\sqrt{3} + i) = \sqrt{3} + i + \sqrt{3} i + i^2 = (\sqrt{3} - 1) + i (\sqrt{3} + 1)$
极坐标形式：
$z_1 z_2 = \sqrt{2} \cdot 2 \cdot e^{i (45^\circ + 30^\circ)} = 2\sqrt{2} e^{i 75^\circ}$
转换为直角坐标：
$2\sqrt{2} (\cos 75^\circ + i \sin 75^\circ) \approx 0.52 + 2.75 i$
与直角坐标计算结果一致（近似误差来自角度计算）。

(2) 除法示例

设 $z_1 = 1 + i$ ， $z2=3+iz_2 = \sqrt{3} + i$ ：

直角坐标形式：
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + i}{\sqrt{3} + i} = \frac{(1 + i)(\sqrt{3} - i)}{3 + 1} = \frac{\sqrt{3} - i + \sqrt{3} i - i^2}{4} = \frac{\sqrt{3} + 1 + i (\sqrt{3} - 1)}{4}$
极坐标形式：
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{i (45^\circ - 30^\circ)} = \frac{\sqrt{2}}{2} e^{i 15^\circ}$
转换为直角坐标：
$\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos 15^\circ + i \sin 15^\circ) \approx 0.68 + 0.18 i$
与直角坐标计算结果一致。