代数系统的一般概念与格与布尔代数
考核内容与考核要求
代数系统，要求达到“领会 ”层次。
正确理解运算及运算的封闭性、运算的结合律、交换律、幂等律、分配律和吸收律等； 理解幺元、零元、幂等元及逆元的概念，并能正确计算。
考核内容与考核要求
群与半群，要求达到“领会 ”层次。
半群与独异点，正确理解半群与独异点并能进行判断。
群，正确理解群及子群的概念，并能进行判别，掌握子群的判别条件。
环与域，要求达到“识记 ”层次。
正确理解环与域的概念并能进行判别。
重难点
能正确判别半群、独异点、群、环等
6.1 代数系统
知识点 1 代数系统的基本概念
一、n 元运算 例 1
(1) 设 x∈Z(或 Q ，或 R), 则 f(x)=-x 是将 x 映为它的相反数。-x 是由 x 唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运 算的结果。 f ：Z →Z 是函数。
(2) 设 A={0, 1}集合，p∈A ，f(p)= ¬p ，¬表示否定。则 f(p)= ¬p 是将 p 映为它的否定。¬ p 是由 p 唯一确定的，它 是对 A 中的一个元素施行否定运算的结果。f：A →A 是函数，f 是 A 上的一元运算。
上述例子都是我们熟悉的数与数的运算,它们有一个共同特征,就是其运算结果都在原来的集合中且运算结果是唯 一的，它们都是函数。
我们把这种数集中的代数运算，抽象概括推广，可得到一般集合上代数运算的概念。集合中的代数运算实质上是 集合中的一类函数。
集合中的代数运算实质上是集合中的一类函数。
定义 6.1.1 设 A 是集合，函数 f：An →A 称为集合 A 上的 n 元代数运算（opg,ators），整数 n 称为运算的阶（ordg,）。 当 n=1 时，f：A →A 称为集合 A 中的一元运算。
当 n=2 时，f：A×A →A 称为集合 A 中的二元运算。
从 n 元代数运算的定义可知它有三点涵义:
(1) A 中任意 n 个元素都有运算结果；
(2) 运算是封闭的，即运算结果仍在 A 中；
(3) 结果是唯一的。
常见的一元运算：¬ , ~ , |x| ，1/x ，sinx ，等。
一般地，二元运算用算符。，* ， · , Δ , ◇等等表示，并将其写于两个元素之间，如 Z×Z →Z 的加法。 F（〈2 ，3〉）=+（〈2 ，3〉 ）=2+3=5
注意到 Ranf__A ，即运算结果是 A 中的元素，这称为运算的封闭性。另外，运算是函数，要具备函数所具有的对 每一个自变元有唯一的像的特性。
例 设 A={0, 1,2,3,4,5} ，二元运算“。”的定义见下表。
◦ | 0 1 2 3 4 5 |
0 1 2 3 4 5 | 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 2 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 2 1 0 2 1 |
事实上，对于上表，我们可观察看出其运算为 X◦Y=X·Y（ mod3)
5-1 代数系统的引入
例 设 A={0, 1} ，二元运算“* ”的定义见下表。
* | 0 1 |
0 | 0 0 |
1 | 0 1 |
此时的“* ”运算应是集合{0, 1}上的∧（逻辑合取运算符）。
*
例 在数理逻辑中，否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是谓词集合上的二元运算；
在集合论中，并与交是集合上的二元运算；
在整数算术中，加、减、乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，因为它不满足封闭性。 例 在数理逻辑中，否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是谓词集合上的二元运算；
在集合论中，并与交是集合上的二元运算；
在整数算术中，加、减、乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，因为它不满足封闭性。
知识点 2 二元运算的性质
设 * 和 ο是 X 上的二元运算，"x ，y ，z ∈X ，则
1）封闭性：若 x ，y∈X ，则 x*y∈X；
2）可交换性：x*y=y*x；
3）可结合性：x*y*z=x*（y*z）=（x*y）*z；
4）可分配性：若 x*（y οz）=（x*y） ο（x*z） （y οz）*x=（y*x） ο（z*x）则称*对 ο可分配。
5）吸收律：设*和 ο是定义在集合 A 上的两个可交换的二元运算，若有 x*（xοy）=x ，x ο（x*y）=x .则称*和 ο 满足吸收律。
【例】有理数集合 Q 上的二元运算*定义为 a*b=a+b-ab ，问运算*是否可交换？可结合？ 解 "a ，b ，c∈Q ，有
∵ a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a ， ∴运算*是可交换的 又∵（a*b）*c=（a+b-ab）*c
=（a+b-ab）+c-（a+b-ab）c
= a+b-ab+c-ac-bc+abc
= a+b +c-ab-ac-bc+abc
=a*（b*c）=a*（b+c-bc）
=a+ b+c-bc-a（b+c-bc）
= a+b +c-ab-ac-bc+abc
∴ （a*b）*c = a*（b*c） ，故运算*是可结合的
在元素个数大于 1 的代数系统中，关于某个二元运算的幺元与零元是不相等的。
知识点 3 二元运算中的特异元
3）逆元（左逆元 xl 、右逆元 xr ）
设*是集合 X 中的运算，且 X 中对于*存在幺元 e ，令 x∈X
（1）如果有一个元素 xl∈X ，能使得 xl*x= e ，则称 xl 为 x 的左逆元，并称 x 是左可逆的；
（2）如果有一个元素 xr∈X ，能使得 x*xr= e ，则称 xr 为 x 的右逆元，并称 x 是右可逆的；
（3）如果 x 既左可逆的又是右可逆的，则称 x 是可逆的。
定理 设*是集合 X 中的一个可结合的二元运算，且对于*有幺元 e ，若元素 x∈X 是可逆的，则它的左逆元和右逆 元必相等，记为 x-1 ，并称 x-1 是 x 的逆元且唯一。
注 幺元的逆元是其本身；零元不可逆。
例 实数集合 R 上的加法运算： 幺元是 0 ，元素 x 的逆元-x 实数集合 R 上的乘法运算： 幺元是 1 ，元素 x 的逆元 1/x
例 设集合 A={a, b, c, d, e} ，在 A 上定义的二元运算*如下表所示。试指出代数系统<A,*>中每个元素的左右逆元情 况。
*
a 是幺元， 幺元以其自身为逆元；
b 的左逆元是 c 、d ，右逆元是 c ，即 b 、c 互逆；
c 的左逆元是 b 、e ，右逆元是 b 、d；
d 的左逆元是 c ，而右逆元是 b ； e 的右逆元是 c ，但没有左逆元。
【例】设 I 是整数集合，x*y=x+y-xy 。求出幺元，并指出每个元素的逆元。
【解】对任意的 x∈X ，若幺元 e 存在，则 x*e=e*x= x+e-xe=x ，故得出存在 e=0.
对任意 x∈X ，若其逆元 x-1 存在，则 x* x-1 = x+x-1-xx-1=0 ， x-1=x/（x-1）为整， 故只有 2 和 0 有逆元，2-1 =2 ，0-1 =0。
设*是集合 A 上可结合的二元运算，且有幺元，如果某元素 x 有左逆元，则其左逆元必定也是其右逆元，且是 x 的唯一逆元。
如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数也相同，则称这两个代数系统是同类型的。同类型的代数 系统仅仅是构成成分相同，不一定具有相同运算性质。
子代数
不是任意一个子集和运算都可以构成子代数，必须该子集对这些运算都是封闭的。
子代数也是代数系统。
知识点 4 代数系统的基本性质 二元运算的一些重要性质
设“⊙ ”是非空集合 A 上的二元运算，如果对任意的 a 、b 、c∈A ，有（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c），则称运算“⊙ ” 满足集合律。
设“⊙ ”是非空集合 A 上的二元运算，如果对任意的 a ，b∈A ，有 a⊙b=b⊙a ，则称运算“⊙ ”满足交换律。 二元运算的一些重要性质
设（A；* ， ⊙) 是一代数系统，如果对任意的 a 、b 、c∈A ，有
（1）a*（b⊙c）=（a*b） ⊙（a*c），则称“* ”对“⊙ ”有左分配律；
（2）（b⊙c）*a=（b*a） ⊙（c*a），则称“* ”对“⊙ ”有右分配律。
还有封闭性、幂等律、吸收律…… 二元与一元运算的表示
（2）如果对于任意的 x ，y ，z ∈S 有
（x 。 y）。 z = x 。 （y 。 z），
则称运算在 S 上满足结合律.
（3）如果对于任意的 x ∈ S 有
x 。 x = x，
则称运算在 S 上满足幂等律.
由运算表判别算律的一般方法
交换律：运算表关于主对角线对称
幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致
单位元：所在的行与列的元素排列都与表头一致
零元：元素的行与列都由该元素自身构成
A 的可逆元：a 所在的行中某列（比如第 j 列）元素为 e ，且第 j 行 i 列的元素也是 e ，那么a 与第 j 个元素互逆
结合律：除了单位元、零元之外，要对所有 3 个元素的组合验证表示结合律的等式是否成立
【例】 （1）说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的。
（2）求出运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元。
【解】（1）* 满足交换、结合律；。 满足结合、幂等律； · 满足交换、结合律。
（2）* 的单位元为 b ，没零元，a-1 = c ，b-1 = b ，c-1 = a
。 的单位元和零元都不存在，没有可逆元素。
· 的单位元为 a ，零元为 c ，a-1=a. b ，c 不可逆。
6.2 群与半群
知识点 1 半群和独异点
一、半群与独异点的定义
1 ．定义 6.9
（1）设 V=<S ，*>是代数系统，*为二元运算，如果*运算是封闭且可结合的，则称 V 为半群。
（2）设 V=<S ，*>是半群，若 e∈S 是关于*运算的单位元，则称 V 是含幺半群，也叫做独异点。有时也将独异点 V 记作 V=<S ，。，e>。
半群
设 V=<S ，*>是代数系统，*是集合 S 上的二元运算，如果运算*是可结合的（当然是封闭的） ，则称代数系统为 半群。
这个定义包括两点，即对任意 x,yz∈S，
①x*y∈S②（x*y）*z=x*（y*z）
若半群中存在一个幺元，则称此半群为独异点（含幺元半群）
<Z ，+> 、<N ，+> 、<Q ，+> 、<R ，+>等都是半群。0 是各自的幺元，所以这几个代数系统也都是独异点。
【例】（1）<Z+ ，+> ，<N ，+> ，<Z ，+> ，<Q ，+> ，<R ，+>都是半群，+是普通加法. 这些半群中除<Z+ ，+>外都是 独异点。
（2）设 n 是大于 1 的正整数，<Mn（R），+>和<Mn（R）， ·>都是半群，也都是独异点，其中+和 ·分别表示 矩阵加法和矩阵乘法。
（3）<P（B）， ⊕>为半群，也是独异点，其中⊕为集合的对称差运算。
（4）<Zn ， ⊕>为半群，也是独异点，其中 Zn={0 ，1 ， … , n−1} ， ⊕为模 n 加法。
由于半群 V＝<S, °>中的运算是可结合的,可以定义元素的幂,对任意 x∈S,规定：
" x1 ＝x"
" xn+1 ＝xn °x, n ∈Z+"
用数学归纳法不难证明 x 的幂遵从以下运算规则：
" ° "
xn xm ＝xn+m
(xn)m ＝xnm m, n ∈Z+
普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个幂运算规则。
" 独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点中去。"
" 由于独异点 V 中含有单位元 e ，对于任意的 x∈S,可以定义 x 的零次幂, 即"
x0 ＝e
xn+1 ＝xn °x n ∈N
子半群与子独异点
1.定义与判别方法
半群的子代数叫做子半群，独异点的子代数叫做子独异点。
子半群的判别方法：
V=<S ，。>是半群，T≤S ，T 非空，如果 T 对 V 中的运算。封闭，则<T ，。>是 V 的子半群。
子独异点的判别方法：
V=<S ，。，e>是独异点，T≤S ，T 非空，如果 T 对 V 中的运算。封闭，而且 e∈T ，那么<T ，。，e>构成 V 的子 独异点。
子半群
设 V=<S*>是半群，如果 B 是 S 的子集，并且 B 对运算*是封闭的，则称＜B ，*＞是半群＜S ，*＞的子半群。 子半群也是一个半群。
半群＜N ， × > , 其中 N 是自然数集， ×是一般乘法运算。则＜N2 ， ×>是＜N ， ×>的子半群，其中 N2={2n ∣ n∈N} 。可知， ＜N2 ， ×>也是半群。
知识点 2 群的相关概念
群：代数系统<G ，*> （满足封闭域），其中 G 是非空集合，* 是 G 上的二元运算，满足 结合律成立，即对任意 x ，y ，z ，有 x*（y*z）=（x*y）*z 。
（半群）
单位元存在，即 G 中存在一个元素 e ，对任意 x ，有 e*x=x*e=x （独异点）
逆元存在，即对任意 x ，存在 x ’，满足 x*x ’=x ’*x =e 。（群）
则称<G ，*> 是一个群。
独异点<N ，+> ，<Z ，+> ，<Q ，+> ，<R ，+>中，<N ，+>不是群。
群的阶、有限群和无限群
设<G ，*> 是一个群，G 的元素个数|G |称为群 G 的阶， |G |有限则称<G ，*> 为有限群， |G |无限则称<G ，*> 为 无限群。
平凡群：阶为 1 的群<G ，*> 称为平凡群，即|G |=1 且 G={e}.
阿贝尔群（Abe,）：满足交换律（交换群）
例 设 G={e ，a ，b ，c} ，运算*的定义如表所示：
可证<G ，*>是一个阿贝尔群，e 是单位元，对于任意 x∈G ，有 x-1=x。
这个群称作克莱（Klein）四元群。
*
*
G 是一个群：
e 为 G 中的单位元；
运算是可结合的；
运算是可交换的；
G 中任何元素的逆元就是它自己；
在 a,b,c 三个元素中,任何两个元素运算的结果都等于另一个元素。
定义 11.7 设 G 是群，a∈G ，使得等式
" ak ＝e"
成立的最小正整数 k 称为 a 的阶，记作|a| ＝k ，这时也称 a 为 k 阶元。若不存在这样的正整数 k,则称 a 为无限阶 元。
元素的阶
设群<G ，*>的一个元素 a ，能使 ak=e 的个最小正整数 k ，称为 a 的阶，记作|a| ，a 称为 k 阶元。若不存在这样的 正整数 k ，则 a 称为无限阶元。
群的阶和群中某元素的阶是两个不同的概念。在克莱恩四元群中，群的阶|G |=4 ，G 中各元素的阶分别为|e|=1， 而|a|=|b |=|c|=2
定理：阶大于 1 的群（非平凡群）中没有零元。
对于平凡群，它有唯一的元素，这个元素可以看作是幺元，也可看作是零元。
定理：设<G ，*> 是一个群，对于任意 a ，b ，必存在唯一 x ，使得 a*x=b。
两个定理的证明见教材 P.117
幂等元
在代数系统<G ，*>中，如果存在某元 a ，满足 a*a=a ，则称 a 为等幂元。
若运算*满足幂等律，G 中的所有元素均是幂等元。
在群<G ，*> 中，除幺元外，再无幂等元，即幺元是唯一的幂等元。
定理 11.1 设 G 为群,则 G 中的幂运算满足：
(1) a∈G,(a-1)-1 ＝a。
(2) a,b∈G ，(ab)-1 ＝b-1a-1。
(3) a ∈G ，anam ＝an+m ，n,m ∈Z。
(4) a ∈G ，(an)m ＝anm ，n,m ∈Z。
(5) 若 G 为交换群，则(ab)n ＝anbn。
分析：
(1)和(2)可以根据定义证明。
(3) 、(4) 、(5)中的等式,先利用数学归纳法对于自然数 n 和 m 证出相应的结果，然后讨论 n 或 m 为负数的情况。
(1) a∈G,(a-1)-1 ＝a。
" (a-1)-1 是 a-1 的逆元，a 也是 a-1 的逆元。"
" （或者：a-1 是 a 的逆元，a 也是 a-1 的逆元。）"
" 根据逆元的唯一性， (a-1)-1 ＝a 。"
(2) a,b∈G ，(ab)-1 ＝b-1a-1。
" (b-1a-1)(ab) ＝b-1(a-1a)b ＝b-1b ＝e"
" (ab)(b-1a-1) ＝a(bb-1)a-1 ＝aa-1 ＝e"
" 故 b-1a-1 是 ab 的逆元。"
" 根据逆元的唯一性等式得证。"
(3) a ∈G ，anam ＝an+m ，n,m ∈Z。
先考虑 n,m 都是自然数的情况。任意给定 n ，对 m 进行归纳。
m ＝0 ，有 ana0 ＝ane ＝an ＝an+0 成立。
假设对一切 m ∈N 有 anam ＝an+m 成立，则有
anam+1 ＝an(ama) ＝(anam)a ＝an+ma ＝an+m+1
由归纳法等式得证。
下面考虑存在负整数次幂的情况。
设 n<0 ，m ≥0 ，令 n ＝-t ，t ∈Z+ ，则 "a-(t-m) ＝am-t ＝an+m t ≥m"
anam ＝a-tam ＝(a-1)tam =
"am-t ＝an+m t<m"
对于 n≥0,m<0 以及 n<0,m<0 的情况同理可证。
(5) 若 G 为交换群，则(ab)n ＝anbn 。当 n 为自然数时，对 n 进行归纳。 (ab)0
= e
= ee
= a0b0。
n ＝0 ，有
假设(ab)k ＝akbk ，则有 (ab)k+1
= (ab)k(ab)
= (akbk)ab
= ak(bka)b
= ak(abk)b
= (aka)(bk)b
= (ak+1)(bk+1)
由归纳法等式得证。
设 n<0 ，令 n ＝-m ，m>0 ，则
(ab)n
= (ba)n
= (ba)-m
= ((ba)-1)m = (a-1b-1)m = a-mb-m
= anbn
= (a-1)m(b-1)m
循环群
在群<G ，*> 中，如果在 G 中存在某元素 a ，对 G 中的每个元素均能由 a 的幂组成，则称该群是循环群，元素 a 是该循环群的生成元。
要证明群<G ，*> 是循环群，则在 G 中找到一个生成元即可。
若 g 为生成元，G ＝（g）表示由g 生成的循环群。
循环群的生成元不唯一。
有限循环群和无限循环群
在循环群<G ，*>中， |G |的阶 G 为有限时，称为有限循环群，否则称为无限循环群。
若 G=（a），则 G={a0=e,a1 ，a2 … an-1}时 n 阶有限循环群，G={…a-1 ，a °=e,a1 ，a2 ， …}为无限循环群。 子群
设<G ，*>是一个群，S 是 G 的非空子集，如果<S ，*>也构成群，则称<S ，*>是<G ，*>的一个子群。记作 S≤G。 在（克莱）Klein 四元群中，有 5 个子群，{e} 、{e,a} 、{e,b} 、{e,c} 、G 。其中{e}是 G 的平凡子群。
子群判别定理 1
设<G ，*>是群，H 是 G 的非空子集，则 H 称为 G 的子群 H≤G ，当且仅当
子群判别定理 2
设<G ，*>是群，H 是 G 的非空子集，则 H 称为 G 的子群 H≤G ，当且仅当
子群判别定理 3
设<G ，*>是群，H 是 G 的有限非空子集，则 H 称为 G 的子群 H≤G ，当且仅当 va,b ∈H ，有 a*b∈H。
综上：给定非空集合 G ，*是 G 上一个二元运算，有下列五个条件：
（a）封闭性成立，即对任意 x ，y∈G ，有 x*y∈G。
（b）结合律成立，即对任意 x ，y ，z∈G ，有 x*（y*z）=（x*y）*z。
（c）单位元存在，即 G 中存在一个元素 e ，对任意x∈G ，有
（d）逆元存在，即对任意 x∈G ，存在 x-1∈G ，满足
（e）交换律成立，即对任意 xy∈G ，有 x*y=y*x。
如果满足 a ，则<G ，*> 是代数系统；
如果满足 a 、b ，则<G ，*>是半群；
如果满足 a 、b 、c ，则<G ，*>是独异点，也称含幺半群；
如果满足 a 、b 、c 、d ，则<G ，*>是群；
如果满足 a 、b 、c 、d 、e ，则<G ，*>是阿贝尔群，也称交换群。
6.3 环与域
知识点 1 环与域 环的定义：
设<A ，+ ， >是一代数系统，+和 是二元运算，若满足
（1）<A ，+ >是阿贝尔群（加法群）。
（2）<A ， >是半群。
（1） a ·0 = 0 ·a = 0（加法么元必为乘法零元）
（2）（-a） · b = a ·（-b） = -（a · b）
（3）（-a） ·（-b） = a · b
（4） a ·（b-c） = a · b-a ·c
（5）（b-c） ·a=b ·a-c ·a
其中，-a 表示 a 的加法逆元，并将 a+（-b）记为 a-b。 证明（3）（-a） ·（-b）+（-a） ·b
=（-a） · [（-b）+ b] =（-b）
=0
（a · b）+（- a） ·b =[a+（-a）] ·b = 0 ·b
=0
所以（-a） ·（-b）= a · b
（4） a ·（b-c）
= a · [b+（-c）]
= a · b + a ·（- c） = a · b+[-（a ·c） ] = a · b-a ·c
（5）（b-c） ·a
=[b+（- c）] ·a
= b ·a + （-c） ·a
=b ·a + （-c ·a）
=b ·a-c ·a
整数环
集合 Z（整数集）对于运算+（数学加法）是一个阿贝尔群；对于运算×（数学乘法）是一个半群；所以集 合 Z 是一个环（整数环）
有理数环
集合 Q（有理数集）对于运算+（数学加法）是一个阿贝尔群；对于运算×（数学乘法）是一个半群；所以 集合 Q 是一个环（有理数环）
不仅如此
实数集 R 及其上定义的普通加法和乘法也构成环，称为实数环。
全体偶数及其上定义的普通加法和乘法也构成环。
n（ n 大于等于 2）阶实数方阵，关于矩阵的普通加法和乘法也构成环，称为 n 阶实矩阵环。
集合 A 的幂集关于集合的对称差运算和交运算也构成环。
环的性质
零因子：设<R ，+ , ·>是环，a ，b∊ R 且 a≠0 ，b≠0 但 a ·b ＝0 ，则称 a 是 R 中的一个左零因子，b 是 R 中的 一个右零因子。若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它是一个零因子。
环的性质
无零因子环：设 R 是一个环，对于任意 a ，b∊ R ，若 a · b ＝0 则 a ＝0 或 b ＝0 ，就称 R 是一个无零因子环。
环<R ，+ , ·>是无零因子环，当且仅当在 R 中乘法适合消去律，即对任意 a ，b ，c∊ R 且 a≠0 ，若有 a ·b ＝a ·c （或 b ·a ＝c ·a），则有 b ＝c。
无零因子环
除环不一定是整环，因为除环不一定是交换的；
整环不一定是除环，因为整环的非零元素不一定有逆元；
域既是整环，也是除环；
数的普通加法和乘法满足交换律，所以整数环、有理数环、实数环等均是可交换环，也都有各自的幺元 1 ，所以 也都是含幺环；
偶数集及其上定义的普通加法和乘法构成的环是交换环，但没有幺元，所以它不是含幺环。
整数环、有理数环、实数环等均是无零因子环，所以也都是整环。
由于矩阵乘法不满足交换律，故 n 阶实矩阵环不是可交换环，单位矩阵是它的乘法幺元。
集合 A 的幂集关于集合的对称差运算和交运算构成的环是含幺元交换环。
有理数环 Q 和实数环 R 都是域。
但整数环 Z 不是域。
格的基本概念
一、基本概念
格的性质 2
（1）对任意的 a ，b ，c ，d∈ L ，如果 a≤ d 且 b ≤ c ，则 a∨b ≤ d∨c ，a∧b ≤ d∧c；
（2）对任意的 a ，b ，c∈ L ，如果 a ≤ b 且 a ≤ c ，则 a ≤ b∧c；
（3）对任意的 a ，b ，c∈ L ，如果 b ≤ c ，则 a∨b ≤ a∨c ，a∧b ≤ a∧c ，该性质称为格的保序性。 格的性质 3
设<L ，≤ >是格，对任意的 a ，b ，c∈ L ，满足
（1）交换律：a∧b ＝b∧a ，a∨b ＝b∨a；
（2）结合律：（a∧b） ∧c ＝a∧（b∧c），（a∨b） ∨c ＝a∨（b∨c）；
（3）吸收律：a∧（a∨b）＝a ，a∨（a∧b）＝a；
（4）等幂律：a∧a ＝a ，a∨a ＝a。
作为代数系统的格
设<L ， ∨ , ∧>是代数系统，其中∨和∧是二元运算，若∨和∧运算满足交换律、结合律和吸收律，则称<L ， ∨ , ∧>是一个格。
作为偏序集合的格，是通过规定一个集合 L ，集合 L 上的偏序关系≤ , 以及偏序关系≤ 要满足的条件来定义的； 作为代数系统的格，通过规定集合，集合上的运算以及运算所遵从的算律来定义的。
今后不再区分是偏序的格还是代数系统的格。
子格
设<L ， ∨ , ∧>是格，T 是 L 的非空子集，如果运算∨和∧在 T 上是封闭的，则称<T ， ∨ , ∧>是格 L 的子格。 例如，<S6 ，D+>是<S24 ，D+>的子格。
分配格与有补格
知识点 1 分配格与有补格的基本概念 分配格
设<L ， ∨ , ∧>是格，如果对任意的 a ，b ，c∊ L ，满足
a∧（b∨c）＝（a∧b） ∨（a∧c），a∨（b∧c）＝（a∨b） ∧（a∨c）， 则称<L ， ∨ , ∧>是分配格。
当格中定义的两个运算满足分配律时，格即是分配格。
【例】下图给出了 Ll ，L2 ，L3 ，L4 四个格，
Ll ，L2 是分配格。
L3 称钻石格，L4 称五角格，这两个格都不是分配格。（记住结论，可验证不满足分配律） 分配格判定定理
格 L 是分配格，当且仅当 L 既不含有与五角格同构的子格，也不含有与钻石格同构的子格。
从该定理可以直接推得下面两个结论：
（1）每一条链都是分配格；
（2）小于五个元素的格都是分配格。
两格同构，实际上是两格的偏序集合图在结构上是一样的。
分配格判定定理
要判断一个格<L ， ∧ , ∨>是否分配格，则根据判定定理，如果格 L 中有与钻石格或五角格同构的子格，则格 L 不是分配格；否则，格 L 是分配格。运用此定理时，要注意寻找的与钻石格或五角格同构的是格 L 的子格，而不
是其它。
【例】下图给出了 Ll ，L2 ，L3 三个格
Ll ，L2 ，L3 三个格都不是分配格，
Ll 中子格{a ，b ，c ，d ，e}与钻石格同构，L2 中子格{a ，b ，c ，e ，f}与五角格同构，L3 中子格{a ，b ，c ，e ，f}与钻 石格同构。
格的全上界与全下界
设<A ，≤ >是一个格，如果存在元素 a∈ A ，对于∀x∈ A ，都有 a≤ x ，则称 a 为格<A ，≤ >的全下界。如果存在元 素 b∈ A ，对于∀x∈ A ，都有 x≤ b ，则称 b 为格<A ，≤ >的全上界。
格<A ，≤ >的全下界就是偏序集的最小元，全上界就是偏序集的最大元。格<A ，≤ >若存在全下界或全上界，一 定是唯一的。一般地，全下界记为 0 ，全上界记为 1。
有界格
设<A ，≤ >是一个格，若 A 存在全下界和全上界，则称 A 为有界格。记作：<A ，Λ , V ，0 ，1 >。
钻石格和五角格都是有界格，同时任何有限格 L 也是有界格。
设 L={a1 ，a2 ， … , an} ，则 a1Λ a2 Λ … Λ an 是 L 的全下界，a1 V a2 V …V an 是 L 的全上界。
设有限集合 S ，那么格<Ƒ（S）， ∩ , ∪>中，空集就是该格的全下界，集合 S 就是该格的全上界。 补元
设<A ，Λ , V ，0 ，1 > 是有界格，a∈ A ，若存在 b∈ A ，使得 aV b=1 ，aΛ b=0 ，b 称为 a 的补元。
显然 a 和 b 互为补元。
在任何有界格中，全下界 0 与全上界 1 总是互补的。而对于其它元素可能存在补元，也可能不存在补元。如果存 在补元，可能是唯一的，也可能有多个补元。
定理：对于有界分配格，如果它的元素存在补元，则一定是唯一的。
根据这个定理，如果在格中某个元素有不止一个补元，则该格不是分配格。
设<A ，Λ , V ，0 ，1 > 是有界格， 若对于任意 在 A 中都有 a 的补元存在，则 A 称为有补格。
【例】Ll ，L2 是分配格
L3 ，L4 不是分配格，哪些是有补格？
L1 中，a 与 c 互补，b 不存在补元。a 是全下界，b 是全上界。不是有补格。
L2 中，a 与 d 互补，b 与 c 互补，a 是全下界，d 是全上界。是有补格。
L3 中，a 与 e 互补，b 、c 、d 三个元素中，对于任意一个，另外两个都是它的补元。a 是全下界，e 是全上界。 是有补格。
L4 中，a 与 e 互补，b 的补元是 c 和 d ，c 和 d 的补元都是 b 。a 是全下界，e 是全上界。是有补格。
布尔代数
知识点 1 布尔代数的基本概念 布尔代数
一个有补分配格称为布尔格（或布尔代数）。
布尔代数记为<K ， ∧ , ∨ , ˊ> ，其中 ˊ是一元运算，补运算。
【例】集合 S 的幂集格< ρ（S）， ∩ , ∪ , ~ , φ , S>是布尔代数，也称为集合代数，其中∩和∪分别为集合的 交和并运算，～是绝对补运算，其全下界和全上界分别为空集φ和全集 S。
【例】设 B={0 ，1} ，定义* ， ⊕ , ¬运算如下：
可以验证，<B ，* ， ⊕ , ¬ , 0 ，1>是布尔格，也称为二值布尔代数。
*
⊕
x
定理 设 K 是至少包含两个元素的集合，∧和∨为 K 上的两个二元运算， ˊ为 K 上的一元运算，如果对任意 a，b， c∈ K ，满足
（H1）a∧b ＝b∧a ，a∨b ＝b∨a（交换律）
（H2）a∧（b∨c）＝（a∧b） ∨（a∧c），a∨（b∧c） ＝（a∨b） ∧（a∨c）（分配律）
定理 设 K 是至少包含两个元素的集合，∧和∨为 K 上的两个二元运算， ˊ为 K 上的一元运算，如果对任意 a，b， c∈ K ，满足
③ （H3）在 K 中存在零元 0 ，使 a∨0 ＝a ，a∧0 ＝0， 存在单位元 1 ，使 a∧1 ＝a ，a∨1 ＝1（同一律）
④ （H4）存在 a ˊ K ，使 a∧a ˊ =0 ，a∨a ˊ = 1（补元律） 则<K ， ∧ , ∨ , ˊ , 0 ，1>是布尔格。
布尔代数的等价定义
定义 设 K 是至少包含两个元素的集合， ∧和∨为 K 上的两个二元运算，ˊ为 K 上的一元运算，如果满足条件（H1） —（H4），则称<K ， ∧ , ∨ , ˊ , 0 ，1>为布尔代数。
【例】在命题代数中，可以验证命题集合上联结词的定义具有（H1）—（H4）各性质，故命题集合<S ， ∧ , ∨ , ˊ , 0 ，1>构成布尔代数。
定理 在布尔代数<B ， ∧ , ∨ , ˊ , 0 ，1>中，1 是运算∧的单位元，0 是运算∨的单位元。可以证明，1 是运算 ∨的零元，0 是运算∧的零元。
定理 在布尔代数<B ， ∧ , ∨ , ˊ , 0 ，1>中，
∀a∈ B ，（ a ’） ’= a（双重否定律）
∀a ，b∈ B ，（aΛ b） ’=a ’⋁ b ’，（a⋁ b） ’=a ’Λ b ’（德摩根律） 证明时，注意布尔代数的一个性质就是，任一元的补元时唯一的。
【例】设 B={0 ，1} ，Bn=BxBx…xB ，Bn 中的元素 a=<a1 ，a2 ， … , an> ， b=<b1 ，b2 ， … , bn> ，其中 ai 与 bi 取 0 或 1 ，<0 ，0 ， … , 0>表示为 0n ，<1 ，1 ， … , 1>表示为 1n.定义* ， ⊕ , ¬运算如下：
a*b=<a1*b1 ，a2*b2 ， … , an*bn>，
a ⊕ b=<a1 ⊕ b1 ，a2 ⊕ b2 ， … , an ⊕ bn>， ¬a= <~a1 ， ~a2 ， … , ~an>，
可以验证，<Bn ， * ， ⊕ , ¬ , 0n ，1n>构成布尔代数。