状压DP-子集枚举技巧

在状压DP中“子集枚举”是处理集合相关问题的核心操作，许多场景需要遍历某个状态的所有子集（如“从已选元素中拆分出一个子集进行转移”“枚举子集计算贡献”），直接暴力枚举会导致时间复杂度爆炸。

一、子集枚举的核心意义与问题

1.1 为什么需要子集枚举？

状压DP中，状态通常用二进制mask表示元素的选择情况。当问题涉及“将集合拆分为两个子集”“从集合中选择一个子集满足特定条件”时，需要枚举mask的所有子集。例如：

• 集合划分问题：将mask表示的集合拆分为两个不相交子集a和b（a | b = mask且a & b = 0），计算最优划分方案。
• 贡献累加问题：对mask的所有子集sub，累加sub对应的价值到mask的状态中。

1.2 暴力枚举的局限性

若mask有k个1，则其子集数量为2^k。当k=20时，子集数量超过百万，暴力枚举（遍历所有可能的sub并检查sub是否为mask的子集）会导致时间复杂度达到O(2^n * 2^n) = O(4^n)，对于n=20就是1e12级操作，完全不可行。

因此，必须掌握高效的子集枚举技巧，利用位运算特性减少无效遍历。

二、子集枚举的经典技巧

2.1 技巧1：标准子集枚举（迭代法）

核心思想：利用位运算submask = (submask - 1) & mask，从mask开始，每次生成比当前submask小的最大子集，直到submask为0。

原理：

• submask - 1会将submask的最后一个1变为0，并将其后的0变为1；
• 与mask进行&运算，确保submask始终是mask的子集（仅保留mask中为1的位）。

代码示例：

// 枚举mask的所有子集（包括空集和mask本身）
void enumerateSubsets(int mask) {for (int sub = mask; ; sub = (sub - 1) & mask) {// 处理子集subSystem.out.println(sub);if (sub == 0) break; // 终止条件}
}

示例：mask = 6（二进制110）

• 第一次循环：sub = 110（6）
• 第二次：sub = (110-1) & 110 = 101 & 110 = 100（4）
• 第三次：sub = (100-1) & 110 = 011 & 110 = 010（2）
• 第四次：sub = (010-1) & 110 = 001 & 110 = 000（0），循环结束。

时间复杂度：O(2^k)，其中k是mask中1的个数（仅遍历有效子集）。

2.2 技巧2：非空子集枚举

场景：需排除空集的情况（如“至少选择一个元素的子集”）。

实现：在标准枚举基础上，当sub == 0时提前终止（不处理空集）：

// 枚举mask的所有非空子集
void enumerateNonEmptySubsets(int mask) {for (int sub = mask; sub > 0; sub = (sub - 1) & mask) {// 处理非空子集subSystem.out.println(sub);}
}

示例：mask=6时，输出6,4,2（跳过空集）。

2.3 技巧3：真子集枚举（排除自身）

场景：需排除mask本身的子集（如“拆分集合为两个非空子集”）。

实现：在标准枚举中，当sub == mask时跳过：

// 枚举mask的所有真子集（不包括mask本身）
void enumerateProperSubsets(int mask) {for (int sub = (mask - 1) & mask; ; sub = (sub - 1) & mask) {// 处理真子集subSystem.out.println(sub);if (sub == 0) break;}
}

原理：初始sub设为(mask-1) & mask，直接跳过mask本身。

2.4 技巧4：按元素数量枚举子集

场景：需按子集大小（1的个数）分组处理（如“先处理大小为k的子集，再处理k+1的”）。

实现：预处理每个mask中1的数量（bitCount），按数量分组存储：

List<Integer>[] subsetsBySize = new List[n+1]; // subsetsBySize[k]存储所有含k个1的mask
static {for (int i = 0; i <= n; i++) {subsetsBySize[i] = new ArrayList<>();}for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++) {int cnt = Integer.bitCount(mask);subsetsBySize[cnt].add(mask);}
}// 按元素数量从小到大枚举子集
for (int k = 1; k <= n; k++) {for (int mask : subsetsBySize[k]) {// 处理大小为k的mask// 再枚举其大小为t的子集（t < k）for (int sub = mask; sub > 0; sub = (sub - 1) & mask) {if (Integer.bitCount(sub) == t) {// 处理特定大小的子集}}}
}

三、经典案例：子集枚举在状压DP中的应用

3.1 集合划分的最小代价

问题描述

给定n个元素，每个子集S有代价cost[S]。将全集U（mask = (1<<n)-1）划分为k个不相交非空子集S_1, S_2, ..., S_k，总代价为各子集代价之和，求最小总代价。

状压DP设计

1. 状态定义：dp[mask][t]表示将mask划分为t个子集的最小代价。
2. 状态转移：
   • 初始：dp[sub][1] = cost[sub]（单个子集的代价）。
   • 对t > 1，枚举mask的非空真子集sub，则：
     dp[mask][t] = min(dp[mask][t], dp[sub][t-1] + dp[mask ^ sub][1])
     （将mask拆分为sub和mask^sub，前者划分为t-1个，后者为1个）。
3. 结果：dp[full_mask][k]。

核心部分代码实现

int n = 5;
int k = 2;
int fullMask = (1 << n) - 1;
int[] cost = new int[1 << n]; // 预处理每个子集的代价
int[][] dp = new int[1 << n][k + 1];
for (int[] row : dp) Arrays.fill(row, INF);// 初始化：t=1的情况
for (int sub = 1; sub <= fullMask; sub++) {dp[sub][1] = cost[sub];
}// 填充dp[mask][t]
for (int t = 2; t <= k; t++) {for (int mask = 1; mask <= fullMask; mask++) {// 枚举mask的非空真子集subfor (int sub = (mask - 1) & mask; sub > 0; sub = (sub - 1) & mask) {int rest = mask ^ sub; // 剩余部分if (dp[sub][t-1] != INF && dp[rest][1] != INF) {dp[mask][t] = Math.min(dp[mask][t], dp[sub][t-1] + dp[rest][1]);}}}
}System.out.println(dp[fullMask][k]);

关键：用sub = (mask-1) & mask枚举真子集，避免重复计算sub和rest（因sub < rest时可跳过，减少一半运算）。

3.2 子集贡献累加（SOS DP）

问题描述

给定数组a[mask]，对每个mask，计算其所有子集sub的a[sub]之和，即sum[mask] = Σa[sub]（sub是mask的子集）。

高效解法：SOS DP（Sum Over Subsets）

传统方法：对每个mask枚举所有子集sub累加，时间O(4^n)。
优化方法：利用二进制位的递进关系，按位更新sum[mask]：

1. 状态定义：sum[mask]为mask所有子集的a[sub]之和。
2. 转移：对每个位i，若mask的第i位为1，则sum[mask] = sum[mask] + sum[mask ^ (1<<i)]（包含第i位和不包含第i位的子集之和）。

代码实现：

int n = 5;
int[] a = new int[1 << n]; // 原始数组
int[] sum = new int[1 << n];
// 初始化sum为a的副本
System.arraycopy(a, 0, sum, 0, 1 << n);// SOS DP：按位更新
for (int i = 0; i < n; i++) {for (int mask = 0; mask < (1 << n); mask++) {if ((mask & (1 << i)) != 0) { // 若mask包含第i位sum[mask] += sum[mask ^ (1 << i)];}}
}

原理：通过按位迭代，每个mask的sum值由其不包含第i位的子集mask ^ (1<<i)的sum累加而来，时间复杂度降至O(n * 2^n)。

四、子集枚举优化与注意事项

4.1 优化技巧

1. 剪枝无效子集：

   • 若子集sub不满足问题条件（如代价超过阈值），直接跳过。
   • 利用对称性：若sub和mask^sub对称（如代价相同），可只处理一次。

2. 预处理加速：

   • 预计算每个mask的子集列表，避免重复枚举（适用于多次查询的场景）。
   • 预计算mask中1的位置，快速定位可拆分的元素。

3. 位运算加速：

   • 用Integer.bitCount(sub)快速获取子集大小，避免重复计算。
   • 用(sub & -sub)获取子集的最低位1，用于特定场景的拆分（如逐个元素移除）。

4.2 注意事项

• 时间复杂度上限：即使优化后，子集枚举的时间复杂度仍与2^k相关，因此仅适用于n≤20的问题（2^20≈1e6，可接受）。
• 空集与全集的处理：根据问题需求明确是否包含空集或全集，避免边界错误。
• 位运算优先级：位运算优先级低于算术运算，需注意加括号（如(sub - 1) & mask而非sub - 1 & mask）。

4.3 总结

子集枚举是状压DP中处理集合拆分、贡献累加等问题的核心技巧，其效率直接决定算法可行性。本文介绍的四大枚举方法各有适用场景：

• 标准迭代法（sub = (sub-1) & mask）是通用基础，适用于大多数子集枚举场景；
• 非空/真子集枚举通过调整循环条件，减少无效状态处理；
• 按大小枚举结合预处理，适合分阶段处理的问题；
• SOS DP则是子集求和的专用优化方法，将复杂度从O(4^n)降至O(n*2^n)。

掌握这些技巧的关键是：

1. 理解位运算对二进制状态的操控逻辑；
2. 根据问题特性选择合适的枚举方式；
3. 结合预处理和剪枝进一步优化性能。

That’s all, thanks for reading~~
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