模型预估打分对运筹跟踪的影响

在uplift建模中，模型离线指标(QINI、AUUC)提升并不意味着在线A/B实验的收益，因为在线运筹还需要$\lambda$约束。如果模型打分不满足单调增且roi边际递减，那么$\lambda$运筹求解会非常不稳定，导致线上发券偏高，毛利无法兜住。

下面用 两个数值化示例 直观对比：

示例 1：$p_i$ 单调增但不满足边际递减 ⇒ $\lambda$ 搜索不稳定

• 样本数：5

• 成本：全部 $c_i=1$

• 预算：$B=3$

• 打分 $p_i$（严格单调增，但 $\Delta p_i$ = $p_i-p_{i-1}$ 不递减／有重复）：

i	1	2	3	4	5
$p_i$	0.10	0.20	0.40	0.40	0.50
$\Delta p_i$	—	0.10	0.20	0.00	0.10

• 阈值集 {pi/ci}={0.10,0.20,0.40,0.40,0.50}\{p_i/c_i\}=\{0.10,0.20,0.40,0.40,0.50\}{pi​/ci​}={0.10,0.20,0.40,0.40,0.50}。

• 当 $\lambda$ 越过 0.40 时，会同时将样本 3、4 都剔除，令选中数 $C(\lambda )$ 从 3 直接跳到 1，形成大阶梯。

C(λ)=#{i:pi>λ}={5,λ<0.10;3,0.10≤λ<0.20;3,0.20≤λ<0.40;1,0.40≤λ<0.50;0,λ≥0.50. C(\lambda)=\#\{i: p_i>\lambda\} \quad=\begin{cases} 5,&\lambda<0.10;\\ 3,&0.10\le\lambda<0.20;\\ 3,&0.20\le\lambda<0.40;\\ 1,&0.40\le\lambda<0.50;\\ 0,&\lambda\ge0.50. \end{cases} C(λ)=#{i:pi​>λ}=⎩⎨⎧​5,3,3,1,0,​λ<0.10;0.10≤λ<0.20;0.20≤λ<0.40;0.40≤λ<0.50;λ≥0.50.​

二分搜索行为：

• 在 $[0.20,0.40)$ 内，任意 mid 都命中 $C=3$，算法只能不断逼近 0.40，永远无法见到$C<3$的分支判定，也就卡在边界来回，无法稳定收敛到唯一解。

示例 2：$p_i$ 单调增且满足边际递减 ⇒ $\lambda$ 搜索稳定

• 样本数：5

• 成本：全部 $c_i=1$

• 预算：$B=3$

• 打分 $p_i$（严格单调增 且 $\Delta p_i$ 递减）：

$i$	1	2	3	4	5
$p_i$	0.10	0.18	0.24	0.28	0.30
$\Delta p_i$	—	0.08	0.06	0.04	0.02

• 阈值集 {0.10,0.18,0.24,0.28,0.30}\{0.10,0.18,0.24,0.28,0.30\}{0.10,0.18,0.24,0.28,0.30}，且每次跨过一个阈值，只会剔除一个样本。

C(λ)=#{i:pi>λ}={5,λ<0.10;4,0.10≤λ<0.18;3,0.18≤λ<0.24;2,0.24≤λ<0.28;1,0.28≤λ<0.30;0,λ≥0.30. C(\lambda)=\#\{i: p_i>\lambda\} \quad=\begin{cases} 5,&\lambda<0.10;\\ 4,&0.10\le\lambda<0.18;\\ 3,&0.18\le\lambda<0.24;\\ 2,&0.24\le\lambda<0.28;\\ 1,&0.28\le\lambda<0.30;\\ 0,&\lambda\ge0.30. \end{cases} C(λ)=#{i:pi​>λ}=⎩⎨⎧​5,4,3,2,1,0,​λ<0.10;0.10≤λ<0.18;0.18≤λ<0.24;0.24≤λ<0.28;0.28≤λ<0.30;λ≥0.30.​

二分搜索行为：

• 目标：$C(\lambda )=3$。

• 初始区间 $[0.10,0.30]$，mid=0.20 → $C(0.20)=3$ → 收缩右端 → $[0.10,0.20]$。
• mid=0.15 → $C=4>3$ → 收缩右端 → $[0.10,0.15]$。
• … 依次剔除第2号、第3号样本，每次跨过一个阈值，$C$ 变化为 4→3→2…，二分能稳定地一步步逼近恰好使 $C=3$ 的 $\lambda$。

核心对比

条件	阶梯跳变	二分稳定性
示例1：边际不递减或重复值	大阶梯（一次掉多个）	卡在大跳点来回
示例2：边际严格递减	小阶梯（一次掉一个）	逐次逼近，稳定收敛

• 只有当每次 $\lambda$ 触碰一个阈值，就只影响一个样本时，累积成本 $C(\lambda )$ 曲线才近似“单调平滑”，二分才能一步步稳定逼近目标预算。
• 如果一次跨越多个阈值（示例1），或阈值间距极小/重复（前例），则会出现“跳变过大”或“可行区间过窄”，导致二分收敛失灵或来回摆动。