图论-最短路Floyd算法

Floyd（弗洛依德）算法

是动态规划算法，也称插点法。是全源最短路算法。
状态表示
d[k,i,j]表示从i到j，且中间只经过节点编号1~k的最短路径的长度。
状态计算
路径的选择分两种：

• 1.路径不经过k点，继承原值：d[k,i,j]=d[k-1,i,j]
• 2.路径经过k点，松弛操作：d[k,i,j]=d[k-1,i,k]+d[k-1,k,j]

代码展示

void fioyd()
{for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);}}}
}

!!!
K一定要在最外层
k放在内层会出错。
因为该算法是通过递归，必须将k-1层的所有状态计算出来后才能得到第k层的值。
不管路径经不经过k点，计算都与k无关，可以省去第一维。
初始化时:

• 如果i,j两点间无边直接相连，d[i][j]初始化为无穷大。
• 如果有边，d[i][j]就是二者边权。
• i=j，自身到自身的距离为0,d[i][j]=0。

枚举完n层后，所有的最短路都会被找出来了。

路径记录与输出

void path(int x,int y)
{if(p[x][y]==0)return ;int k=p[x][y];//x.y之间的最短路path(x,k);cout<<k<<" ";path(k,y); } 

完整代码

int d[N][N],p[N][N];
void fioyd()
{for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(d[i][j]>d[i][k]+d[k][j]){d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];p[i][j]=k; }}}}
}
void path(int x,int y)
{if(p[x][y]==0)return ;int k=p[x][y];path(x,k);cout<<k<<" ";path(k,y); } 
floyd(){cin>>a>>b;cout<<a<<" ";path(a,b);cout<<b<<" ";}

时间复杂度：O($n^3$)