8.1 简单计数题

A

给定整数 $R,G,B,K$。请计算满足以下所有条件的由 R、G、B 组成的字符串 $S$ 的个数，并输出其对 $998244353$ 取模的结果。

• $S$ 中 R、G、B 的个数分别为 $R,G,B$。
• $S$ 中作为连续子串出现的 RG 的个数恰好为 $k$。

不难发现恰好 $K$ 对并不好做，如果钦定 $k$ 对又容易算多，考虑插入。

先插入 R 的话，我们就要考虑 G 和它配对，先插入 G 也一样，我们以先插入 R 为例。

考虑钦定 $k$ 个 R 后面插入 G，这样可以保证不会有超过 $k$ 个 RG。如果选择钦定 $k$ 个 RG 的坏处是又会算多又会算重，算多可以容斥，算重不好搞。于是考虑宁可不到 k 个，也不要多。

所以我们先钦定了 $k$ 个 R 去与 G 配对后，我们需要将 B 也插入进去，这步的方案数是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{R}{k}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{R+B}{R}\right)$ 就是划分成 $R+1$ 个可空集合，方案数就是假设我们对每个集合都加一个数后，就是划分非空集合了。

然后我们考虑插入，我们现在有 $B+k$ 个位置可以插入 G，然后这个是容易处理的，但是我们并没有考虑到直接插可能会导致有些地方需要 G，但是我们并没有插入 G，这有两种方式处理，要么先给这些位置分配一个 G 然后再做，要么容斥，显然前面一个更加简单，但是作者写题时非常唐，居然写了后一个。

B

给定集合 $S$，$|S|=n$，问有多少对非负整数对 $(x,y)$ 满足：$0\le x\le y\le c$，$y+x\notin S$ 且 $y-x\notin S$，保证 $\forall x\in S,0\le x\le c$。

考虑如何做，这个东西应该不难想到容斥，直接去做两个不属于大概不好做。

容斥后，我们就要去考虑 $y+x\in S$ 和 $y-x\in S$ 的数量了，显然我们枚举 $z\in S$，考虑它会被这样的二元组包含几次，首先 $x+y=z$ 的不难处理，注意 $x\le y$ 即可。然后考虑 $y-x=z$ 怎么算，这个东西应该也不难。按照算下 $y$ 的上下界就结束了。

然后我们还要考虑 $y+x\in S$ 且 $y-x\in S$ 的二元组数量，这就是找两个在 $S$ 中的数判断它们是否能被这样表示，不难发现这个条件要求同奇偶，又因为 $\forall x\in S,x\le c$，所以任意同奇偶的两个数都能被算到，于是按照奇偶分开算即可，注意我们还要考虑同一个数会不会被算到，注意到 $x=0$ 是合法的，于是可以被算到。但是你其实还是要考虑你是否在算 $y+x\in S$ 和 $y-x\in S$ 的时候都会算到。我的写法将两种合并了，于是不会算重，于是无需减去。

C

有 $n$ 种不同颜色的球，第 $i$ 种颜色的球有 $a_i$ 个。
这些球可以被组合成若干组。每组最多包含 $2$ 个球，并且每组中每种颜色的球最多只能有 $1$ 个。
考虑所有 $2^n$ 种颜色集合。对于某个颜色集合，定义其值为用这些颜色的球能分成的最少组数。例如，若有三种颜色，球的数量分别为 $3$、$1$ 和 $7$，则这些球最少能组合成 $7$ 组（且不能更少），所以该颜色集合的值为 $7$。
你的任务是计算所有 $2^n$ 种颜色集合的值之和。由于答案可能很大，请输出其对 $998244353$ 取模的结果。

考虑对于一种颜色集合 $A$，容易发现它的值为 $\max (\lceil \frac{{\sum }_{x\in A}x}{2}\rceil ,{\max }_{x\in A}x)$，解释一下，就是我们肯定不会想让一个颜色单独配对，然而我们如果贪心的去搞，如果所有其它元素的和都无法超过这个这个集合中最多的数的个数，那么肯定是让别的与它配对，然后最后剩下来一点单独搞，否则一定存在某个方案去完美配对（当然如果是奇数会剩下来一个数）。

然后显然让人想枚举这两个数中的一个，前一个看着就不好枚举，考虑枚举后一个，那么我们就要算 $\lceil \frac{{\sum }_{x\in A}x}{2}\rceil \ge {\max }_{x\in A}x$ 的方案数，这个东西直接背包处理方案数即可。

D

怪物正在逼近城市，为了保护它，Akito 必须在城市周围创建一个防护场。众所周知，防护场有不同的等级。Akito 选择了等级为 $n$ 的防护场。为了构建这个防护场，需要一个特殊咒语，即伟大魔法三角（表示为二维数组 $T$）的第 $n$ 行。我们将这个数组称为 $T$。
魔法三角的定义如下：

• 第 $i$ 行包含 $i$ 个整数。
• • 第一行唯一的整数是 $k$。
• 设第 $i$ 行第 $j$ 个元素为 $T_{i,j}$，则：
  $$T_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{T}_{i-1,j-1}\oplus T_{i-1,j},& \text{if }1<j<i\\ T_{i-1,j},& \text{if }j=1\\ T_{i-1,j-1},& \text{if }j=i\end{array}$$
  其中 $a\oplus b$ 表示整数 $a$ 和 $b$ 的按位异或运算。
  请帮助 Akito 在怪物抵达城市前找到这个无限魔法三角的第 $n$ 行整数。

不难发现 $T$ 中的值只可能是 $0$ 或 $k$，于是 $k$ 具体是什么与题目无关了，考虑直接令 $k=1$，注意到异或可以理解为不进位加法，于是改一改你就会发现，这就是组合数递推的杨辉三角。然后组合数计算即可。

一个比较妙的地方是注意到是杨辉三角，当然这题很简单，但是如果给个卡特兰数就很难了。

E

先考虑没有任何限制怎么做，不难发现由于每个烹饪方法最多做一个菜，而这个选择的形式很像背包，设 $f(i,j)$ 表示前 $i$ 个烹饪方式，做 $j$ 道菜的方案数，总的转移复杂度是 $O(n^2)$ 的。

至多在一半的菜种出现不好做，因为我们不好处理到底哪个数最多，但是某个食材至少出现多少次是好做的，因为如果那个菜在大于一般的菜种出现，最多只会有一个，枚举它。

然后考虑它要大于一般的总数。这意味着我们要将总数和它的数量一起放入状态，设 $f(i,j,k)$ 表示枚举的主要食材 $x$ 做了 $k$ 道菜，其他与上面的一样的方案数。直接暴力转移是 $O(n^3)$ 的。

考虑优化，我们发现判定条件是 $k>\frac{j}{2}$，这不好，倍比关系不好，但是和差关系好，类比中位数，我们可以很好地处理和差关系，但是对于倍比关系就没那么好了。于是启发我们去修改状态。我们发现上述式子可以化成：$k-\frac{j}{2}>0$，直接这么压也不是不行，你把每 $\frac{1}{2}$ 的差设为状态，但是这不好。我们发现，理解一下现实意义，不难发现这相当于你要求 $x$ 做的菜数比其他加起来还多，于是你把这两个的差压起来就好了。我觉得这还是比较好想到的，比起我之前见过的：随机序列的最长公共前缀看成加入一个赌徒去随机丢色子好多了。