超体积指标（Hypervolume Indicator，S 度量）详析

前言

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超体积指标（Hypervolume Indicator，简称$I_{\text{HV}}$或 S 度量）是多目标优化中评估解集质量的核心指标，能够同时衡量解集的收敛性（接近真实最优前沿）和多样性（解的分布均匀性）。以下结合数学公式详细解析其原理：

一、核心定义与数学表达式

超体积指标的本质是计算解集在目标空间中“支配区域的体积”，其数学定义为：

$$I_{\text{HV}}(Z^{\ast },A)=\lambda \left(\bigcup _{a\in A}H(a,Z^{\ast })\right)$$

其中：

• A={a1,a2,…,an}A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}A={a1​,a2​,…,an​}：待评估的近似解集（$n$为解的数量，每个$a_i$是目标空间中的一个点）。
• $Z^{\ast }=(z_1^{\ast },z_2^{\ast },\dots ,z_m^{\ast })$：最差参考点（需满足对所有$a\in A$和所有目标维度$i$，有$a_i\le z_i^{\ast }$，即$Z^{\ast }$被所有解支配）。
• $H(a,Z^{\ast })$：解$a$与参考点$Z^{\ast }$构成的超矩形区域，定义为：
  H(a,Z∗)={x∈Rm∣a1<x1<z1∗,a2<x2<z2∗,…,am<xm<zm∗}H(a, Z^*) \;=\; \{ \, x \in \mathbb{R}^m \mid a_1 < x_1 < z^*_1,\ a_2 < x_2 < z^*_2,\ \dots,\ a_m < x_m < z^*_m \, \} H(a,Z∗)={x∈Rm∣a1​<x1​<z1∗​, a2​<x2​<z2∗​, …, am​<xm​<zm∗​}
• $\lambda (\cdot )$：勒贝格测度（高维空间中“体积”的推广，二维为面积，三维为体积，$m$维为测度）。
• ${\bigcup }_{a\in A}H(a,Z^{\ast })$：所有解对应的超矩形区域的并集（合并重叠部分）。

二、公式拆解与几何意义

超体积的计算可分为三步，以二维目标空间（如“成本”和“时间”双目标优化）为例直观理解：

1. 单个解的“支配区域”$H(a,Z^{\ast })$

对解$a=(a_1,a_2)$和参考点$Z^{\ast }=(z_1^{\ast },z_2^{\ast })$，其超矩形区域$H(a,Z^{\ast })$是：

• 目标1（如成本）的区间：$(a_1,z_1^{\ast })$（长度为$z_1^{\ast }-a_1$）；
• 目标2（如时间）的区间：$(a_2,z_2^{\ast })$（长度为$z_2^{\ast }-a_2$）；
• 区域面积：$(z_1^{\ast }-a_1)\times (z_2^{\ast }-a_2)$。

几何意义：该区域包含了所有被$a$支配且不优于$Z^{\ast }$的点，即“$a$比这些点更优，但$Z^{\ast }$比这些点更差”。

2. 区域并集${\bigcup }_{a\in A}H(a,Z^{\ast })$

当有多个解时，需将每个解的超矩形区域合并（去除重叠部分）。例如，若A={a1,a2}A = \{a_1, a_2\}A={a1​,a2​}，则合并后的区域为：
$$H(a_1,Z^{\ast })\cup H(a_2,Z^{\ast })$$

关键作用：避免重叠区域被重复计算，确保体积反映真实覆盖范围。

3. 勒贝格测度$\lambda (\cdot )$的计算

最终超体积是合并区域的“体积”：

• 二维：面积（$\lambda =\text{长}\times \text{宽}$）；
• 三维：体积（$\lambda =\text{长}\times \text{宽}\times \text{高}$）；
  -$m$维：$\lambda ={\prod }_{i=1}^m(z_i^{\ast }-a_i)$（单个解的超体积，多解时需去重叠）。

三、可视化样例

二维示例

运行结果（黑色的"x"表示"最差参考点"）

三维示例

运行结果（绿色的菱形表示"最差参考点"）

五维示例

一种计算五维超体积的方法的代码示例（没有对超体积进行可视化）：

clc;
clear;%% Step 1: 生成两组五目标解集（模拟帕累托解）
N = 100;  % 每组100个解
M = 5;    % 5个目标% 解集A：均匀分布在超平面上，质量较好
A = rand(N, M);
A = A ./ sum(A,2);  % 归一化到超平面上% 解集B：扰动解集A，模拟较差前沿
noise = 0.05 * randn(N, M);  % 小扰动
B = A + noise;
B = max(B, 0); B = min(B, 1);  % 保持在 [0,1]%% Step 2: 归一化
all_obj = [A; B];
min_vals = min(all_obj);
max_vals = max(all_obj);A_norm = (A - min_vals) ./ (max_vals - min_vals);
B_norm = (B - min_vals) ./ (max_vals - min_vals);%% Step 3: 参考点设置
r = 1.1 * ones(1, M);  % 统一参考点（通常略大于最大目标值）%% Step 4: 超体积指标函数定义（简化法：蒙特卡洛采样估计 HV）function hv = computeHVMonteCarlo(P, ref, sampleN)% Monte Carlo 方法估算超体积% P: 目标值矩阵 (N x M)% ref: 参考点 (1 x M)% sampleN: 采样点数M = size(P, 2);randSamples = rand(sampleN, M) .* ref;dominated = false(sampleN,1);for i = 1:size(P,1)dominated = dominated | all(bsxfun(@le, P(i,:), randSamples), 2);endhv = sum(dominated) / sampleN * prod(ref);
end%% Step 5: 计算两组的超体积
HV_A = computeHVMonteCarlo(A_norm, r, 1e6);
HV_B = computeHVMonteCarlo(B_norm, r, 1e6);fprintf('HV of Set A: %.4f\n', HV_A);
fprintf('HV of Set B: %.4f\n', HV_B);%% Step 6: 可视化（五维平行坐标图）
figure;% 显示解集A的平行坐标
subplot(1,2,1);
parallelcoords(A_norm, 'Color', 'b', 'LineWidth', 1.5);
title('Set A (Parallel Coordinates)');
xlabel('Objectives');
ylabel('Normalized Values');
grid on;% 显示解集B的平行坐标
subplot(1,2,2);
parallelcoords(B_norm, 'Color', 'r', 'LineWidth', 1.5);
title('Set B (Parallel Coordinates)');
xlabel('Objectives');
ylabel('Normalized Values');
grid on;% 额外：添加图例
legend('Set A', 'Set B');

运行结果

四、为何能衡量解集质量？

超体积指标通过“体积”量化解集的两大核心特性：

1. 收敛性（解的优劣）

若解$a$更接近真实 Pareto 前沿（目标值更小），则$z_i^{\ast }-a_i$更大（区间更长），单个超矩形体积更大，整体超体积更易增大。

例如：

• 解$a_1=(1,3)$与$a_2=(2,4)$（参考点$Z^{\ast }=(5,5)$）；
  -$H(a_1,Z^{\ast })$面积：$(5-1)\times (5-3)=8$；
  -$H(a_2,Z^{\ast })$面积：$(5-2)\times (5-4)=3$；
• 显然$a_1$收敛性更好，对超体积贡献更大。

2. 多样性（解的分布）

若解在目标空间分布均匀（不聚集），合并后的区域重叠少、覆盖广，体积更大；若解聚集，重叠区域多，体积小。

例如：

• 解$a_1=(1,4)$和$a_2=(4,1)$（参考点$Z^{\ast }=(5,5)$）；
• 单个面积分别为$4\times 1=4$和$1\times 4=4$，合并后去重叠（重叠面积$1\times 1=1$），总超体积$4+4-1=7$；
• 若两解均为$(2,2)$，合并后体积仅为$3\times 3=9$（但实际多样性差）。

五、关键性质与应用

1. 单调性：若解集$A$支配解集$B$（$A$中每个解都不劣于$B$且至少有一个更优），则$I_{\text{HV}}(A)\ge I_{\text{HV}}(B)$。
2. 对参考点的依赖性：$Z^{\ast }$需合理选择（通常略大于所有解的最大目标值），否则会导致计算偏差。
3. 应用场景：多目标优化算法性能对比（如 NSGA-II、MOEA/D 等）、解集质量评估与筛选。

总结

超体积指标通过公式$I_{\text{HV}}(Z^{\ast },A)=\lambda \left({\bigcup }_{a\in A}H(a,Z^{\ast })\right)$，将抽象的“收敛性”和“多样性”转化为可计算的“体积”。其核心逻辑是：体积越大，解集在目标空间中覆盖的优质区域越广，综合质量越好。理解超体积的关键在于把握“超矩形区域的合并体积”这一几何本质，以及参考点和勒贝格测度的作用。