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量子力学的基本假设

news 2025/7/28 10:10:33

量子力学的基本假设（公设）是理论体系的基石，不同文献表述方式略有差异，但核心内容一致。以下是从主流教科书中普遍接受的四个核心假设及其物理内涵。

第一公设：量子态公设（状态描述）

内容：

量子系统的状态由希尔伯特空间（Hilbert Space）中的单位矢量 $|\psi\rangle$ 完全描述。

归一化条件：

$\langle \psi | \psi \rangle = 1$ （总概率为1）。

叠加原理：

物理意义：

微观粒子状态具有相干叠加性（如电子同时通过双缝），这是量子干涉和纠缠的基础。

希尔伯特空间为复数域上的完备内积空间（例如：单粒子态空间为 $L^2(\mathbb{R})$ )，为量子态提供数学框架。

第二条假设：可观测量公设（算符表示）

内容：

每个物理可观测量（如位置、动量、能量）对应一个希尔伯特空间上的厄米算符（Hermitian Operator） $\hat{A}$ 。

厄米算符性质：

$\hat{A}^\dagger = \hat{A}$ （本征值为实数）

算符的本征值 $\{a_i\}$ 是测量可能结果，本征态 $\{|a_i\rangle\}$ 构成完备正交基。

物理意义：

测量结果的确定性由本征态描述（如能量本征态是定态）。

示例：

关键算符示例：

可观测量	算符形式	本征态
位置 $x$	$\hat{x}$	$\delta(x-x_0)$
动量 $p$	$-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$	$e^{ipx/\hbar}$
能量 $E$	哈密顿量 $\hat{H}$	定态薛定谔方程的解

位置算符 $\hat{x}$

动量算符 $\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$

哈密顿算符 $\hat{H}$ 描述系统能量

第三条假设：测量公设（波函数坍缩）

内容：

对状态 $|\psi\rangle$ 测量可观测量 $\hat{A}$ 时，结果必为 $\hat{A}$ 的本征值 $a_i$ ，测量后系统状态坍缩到对应的本征态 $|a_i\rangle$ 。

测得 $a_i$ 的概率由 Born 规则给出：

$P(a_i) = |\langle a_i | \psi \rangle|^2$

物理意义：

测量过程是概率性且不可逆的（非幺正演化）。

“坍缩”是量子力学诠释的核心争议点（如哥本哈根诠释 vs. 多世界诠释）。

第四条假设：动力学公设（时间演化）

内容：

封闭量子系统的演化由薛定谔方程描述：

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle$
其中 $\hat{H}$ 是系统的哈密顿算符（总能量算符）。

若 $\hat{H}$ 不含时，解为 $|\psi(t)\rangle = e^{-i\hat{H}t/\hbar} |\psi(0)\rangle$ （幺正演化）。

物理意义：

非测量时，量子态进行确定性、可逆的幺正演化。

保持概率守恒： $\frac{d}{dt} \langle \psi | \psi \rangle = 0$ 。

扩展公设（常被纳入核心框架）

第五条：全同性原理（Identical Particles）

内容：

全同粒子（如所有电子）不可区分，其波函数必须满足：

费米子（自旋半整数，如电子）：波函数反对称（ $\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = -\psi(\mathbf{r}_2, \mathbf{r}_1)$ ），遵守泡利不相容原理。

玻色子（自旋整数，如光子）：波函数对称（ $\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = \psi(\mathbf{r}_2, \mathbf{r}_1)$ ）。

第六条：复合系统公设（Tensor Product Structure）

内容：

多粒子系统的态空间是子系统希尔伯特空间的张量积：

$\mathcal{H}_{\text{total}} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2 \otimes \cdots \otimes \mathcal{H}_n$

纠缠态（如 $\frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$ ) 即源于此结构。

公设的物理意义与实验验证

假设	关键意义	实验证据
量子态叠加	量子干涉（双缝实验）	电子/光子干涉图案
测量坍缩	随机性（量子随机数生成）	单粒子测量统计符合 Born 规则
幺正演化	量子门操作（量子计算）	核磁共振量子操控
全同性原理	元素周期表结构	费米气体简并压、超流现象