插值法的使用

        数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和 分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就 需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满 足需求，这就是插值的作用。  

拉格朗日插值法

两个点时：

三个点时：

四个时点：

分段二次插值

牛顿插值法

评价：

       与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法的计算过程具有继承性。 （牛顿插值法每次插值只和前n项的值有关，这样每次只要在原来 的函数上添加新的项，就能够产 生新的函数） 但是牛顿插值也存在龙格现象的问题。

       上面讲的两种插值仅仅要求插值多项式在插值节点处与被插函数有 相等的函数值，而这种插值多项式却不能全面反映被插值函数的性态。

        然而在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在所有节 点处有相同的函数值，它也需要在一个或全部节点上插值多项式与被插 函数有相同的低阶甚至高阶的导数值。

        对于这些情况，拉格朗日插值和牛顿插值都不能满足。

埃尔米特插值法

       不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求 高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。

分段三次埃尔米特插值

% 分段三次埃尔米特插值
x = -pi:pi; y = sin(x); 
new_x = -pi:0.1:pi;
p = pchip(x,y,new_x);
figure(1); % 在同一个脚本文件里面，要想画多个图，需要给每个图编号，否则只会显示最后一个图哦~
plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')% plot函数用法:
% plot(x1,y1,x2,y2) 
% 线方式： - 实线 :点线 -. 虚点线 - - 波折线 
% 点方式： . 圆点  +加号  * 星号  x x形  o 小圆
% 颜色： y黄； r红； g绿； b蓝； w白； k黑； m紫； c青

三次样条插值

% 三次样条插值和分段三次埃尔米特插值的对比
x = -pi:pi; 
y = sin(x); 
new_x = -pi:0.1:pi;
p1 = pchip(x,y,new_x);   %分段三次埃尔米特插值
p2 = spline(x,y,new_x);  %三次样条插值
figure(2);
plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'b-')
legend('样本点','三次埃尔米特插值','三次样条插值','Location','SouthEast')   %标注显示在东南方向
% 说明：
% LEGEND(string1,string2,string3, …)
% 分别将字符串1、字符串2、字符串3……标注到图中，每个字符串对应的图标为画图时的图标。
% ‘Location’用来指定标注显示的位置

n维数据插值