最少标记点问题：贪心算法解析
最少标记点问题：贪心算法解析
问题描述
在一条直线上有n个点，其中第i个点的位置是Xi。我们需要从这些点中选择若干个进行标记。要求：
- 对于每一个点，在其距离R的范围内必须至少有一个被标记的点（如果点本身被标记，则认为满足条件）
- 在满足上述条件的情况下，尽可能减少被标记的点的数量
算法思路
这个问题可以使用贪心算法高效解决，基本思路如下：
- 排序：首先将所有点按照位置从小到大排序
- 覆盖：从最左边的点开始，找到最远的能被当前标记点覆盖的点
- 标记：在覆盖范围的边界处放置标记点
- 重复：移动到下一个未被覆盖的点，重复上述过程
代码实现
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;#define MAX_N 1000int N, R;
int X[MAX_N] = {1, 7, 15, 20, 30, 50};void solve() {// 首先对点进行排序sort(X, X + N);int i = 0; // 当前处理的点的索引int marked_count = 0; // 被标记的点的数量while (i < N) {// 当前未覆盖区域的最左点int leftmost_uncovered = X[i];// 向右移动，找到第一个不能被leftmost_uncovered + R覆盖的点while (i < N && X[i] <= leftmost_uncovered + R) {i++;}// 标记点是在上一个点（即X[i-1]）int marked_point = X[i - 1];marked_count++;// 跳过所有能被当前标记点覆盖的点while (i < N && X[i] <= marked_point + R) {i++;}}cout << "最少需要标记的点数量: " << marked_count << endl;
}int main() {N = 6; // 点的数量R = 10; // 覆盖半径solve();return 0;
}
算法解析
让我们用示例数据 X = {1, 7, 15, 20, 30, 50} 和 R = 10 来逐步分析算法：
- 初始状态：排序后数组不变，i=0
- 第一轮：
- leftmost_uncovered = 1
- 找到第一个超过1+10=11的点：15（i=2）
- 标记点选择X[1]=7
- 跳过所有能被7+10=17覆盖的点：跳过15（i=3），20超过17停止
- 标记计数=1
- 第二轮：
- leftmost_uncovered = 20
- 找到第一个超过20+10=30的点：30（i=4）实际上30=30，所以继续到50（i=5）
- 标记点选择X[4]=30
- 跳过所有能被30+10=40覆盖的点：50超过40停止
- 标记计数=2
- 第三轮：
- leftmost_uncovered = 50
- 没有更多点，标记点选择X[5]=50
- 标记计数=3
最终结果为3个标记点（7,30,50）
复杂度分析
- 时间复杂度：O(N log N)，主要由排序步骤决定
- 空间复杂度：O(1)，只使用了常数个额外空间
实际应用
这种贪心算法可以应用于许多实际问题，如：
- 无线基站部署问题
- 监控摄像头布置
- 路灯安装规划
通过这种策略，我们可以在满足覆盖要求的前提下，最小化资源的使用量。