Robin问题傅里叶变换与解分析

题目

问题3： 考虑Robin问题

$$u_{xx}+u_{yy}=0,-\infty <x<\infty ,y>0,$$
$$(u_y+\alpha u){|}_{y=0}=f(x).$$

对 $$x$$ 进行傅里叶变换，求解由此得到的关于 $$\hat{u}(k,y)$$ 的常微分方程问题，并将 $$u(x,y)$$ 写成傅里叶积分形式。函数 $$f$$ 必须满足什么条件（如果有的话）？

提示： 分别考虑以下情况：
(A) $$\alpha \in \mathbb{C}\setminus [0,\infty )$$ 和
(B) $$\alpha \in [0,\infty )$$.

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解答

步骤1: 应用傅里叶变换

对变量 $$x$$ 应用傅里叶变换。定义傅里叶变换：
$$\hat{u}(k,y)={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x,y)e^{-ikx}dx.$$
原偏微分方程 $$u_{xx}+u_{yy}=0$$ 变换后得到：
$$\frac{{\partial }^2\hat{u}}{\partial y^2}-k^2\hat{u}=0.$$
这是一个关于 $$y$$ 的二阶常微分方程（ODE）。

步骤2: 求解ODE

ODE $$\frac{{\partial }^2\hat{u}}{\partial y^2}-k^2\hat{u}=0$$ 的通解为：
$$\hat{u}(k,y)=A(k)e^{|k|y}+B(k)e^{-|k|y}.$$
由于区域为 $$y>0$$，且解需在 $$y\to \infty$$ 时有界，必须舍去指数增长项（即 $$e^{|k|y}$$ 项），故：
$$\hat{u}(k,y)=A(k)e^{-|k|y},\text{对所有实数 }k.$$
其中 $$A(k)$$ 是待定函数。

步骤3: 处理边界条件

边界条件 $$(u_y+\alpha u){|}_{y=0}=f(x)$$ 的傅里叶变换为：
$$\left(\frac{\partial \hat{u}}{\partial y}+\alpha \hat{u}\right){|}_{y=0}=\hat{f}(k),$$
其中 f^(k)=F{f(x)}=∫−∞∞f(x)e−ikxdx \hat{f}(k) = \mathcal{F}\{f(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i k x} dx f^​(k)=F{f(x)}=∫−∞∞​f(x)e−ikxdx.

代入 $$\hat{u}(k,y)$$：
$$\frac{\partial \hat{u}}{\partial y}=-|k|A(k)e^{-|k|y},\hat{u}(k,0)=A(k).$$
在 $$y=0$$ 处：
$$-|k|A(k)+\alpha A(k)=\hat{f}(k),$$
即：
$$A(k)(\alpha -|k|)=\hat{f}(k).$$
解得：
$$A(k)=\frac{\hat{f}(k)}{\alpha -|k|}.$$
因此：
$$\hat{u}(k,y)=\frac{\hat{f}(k)}{\alpha -|k|}{e}^{-|k|y}.$$

步骤4: 写出 $$u(x,y)$$ 的傅里叶积分

通过傅里叶逆变换：
$$u(x,y)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(k,y)e^{ikx}dk=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\hat{f}(k)}{\alpha -|k|}{e}^{-|k|y}{e}^{ikx}dk.$$

步骤5: 分析 $$f$$ 需满足的条件

解的形式依赖于 $$\alpha$$ 的值，需分情况讨论。

• (A) $$\alpha \in \mathbb{C}\setminus [0,\infty )$$（即 $$\alpha$$ 不在非负实轴上）：
  此时 $$\alpha -|k|\ne 0$$ 对所有实数 $$k$$（因为 $$|k|\ge 0$$ 且为实数，而 $$\alpha$$ 不在 $$[0,\infty )$$ 上）。因此，只要 $$\hat{f}(k)$$ 使得积分存在（例如 $$\hat{f}(k)$$ 衰减足够快），解即良定。无需对 $$f$$ 施加额外条件。

• (B) $$\alpha \in [0,\infty )$$（即 $$\alpha$$ 为非负实数）：
  分母 $$\alpha -|k|$$ 在 $$|k|=\alpha$$ 时为零，即：

  • 若 $$\alpha >0$$，在 $$k=\alpha$$ 和 $$k=-\alpha$$ 处有奇点。
  • 若 $$\alpha =0$$，在 $$k=0$$ 处有奇点。
    为使积分收敛且解存在，分子 $$\hat{f}(k)$$ 必须在这些点为零以抵消奇点。因此：
  • 若 $$\alpha >0$$，需 $$\hat{f}(\alpha )=0$$ 且 $$\hat{f}(-\alpha )=0$$。
  • 若 $$\alpha =0$$，需 $$\hat{f}(0)=0$$。
    这些条件是解存在的必要条件（在经典解意义下）。若条件不满足，解可能不存在或需在分布意义下解释。

最终答案

• ODE 的解： $$\hat{u}(k,y)=\frac{\hat{f}(k)}{\alpha -|k|}{e}^{-|k|y}$$.
• $$u(x,y)$$ 的傅里叶积分表示：
  $$u(x,y)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\hat{f}(k)}{\alpha -|k|}{e}^{-|k|y}{e}^{ikx}dk.$$
• $$f$$ 需满足的条件：
  • (A) $$\alpha \in \mathbb{C}\setminus [0,\infty )$$： 无额外条件。
  • (B) $$\alpha \in [0,\infty )$$：
    • 若 $$\alpha >0$$，则 $$\hat{f}(\alpha )=0$$ 且 $$\hat{f}(-\alpha )=0$$。
    • 若 $$\alpha =0$$，则 $$\hat{f}(0)=0$$。
      （这些条件等价于 $$f$$ 在傅里叶空间中在 $$|k|=\alpha$$ 处有零点。）