多维傅里叶变换性质与计算

题目

问题7.
(a) 证明多维傅里叶变换具有与问题1中相同的性质（参见小节5.2.5）。
(b) 证明如果多维函数 $$f$$ 具有旋转对称性（即对所有正交变换 $$Q$$，有 $$f(Qx)=f(x)$$)，那么其傅里叶变换 $$\hat{f}$$ 也具有旋转对称性（反之亦然）。
注：等价地，$$f$$ 具有旋转对称性当且仅当 $$f(x)$$ 仅依赖于 $$|x|$$。

问题8. 求以下多维函数的傅里叶变换：
(a) $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& |x|\le a,\\ 0& |x|>a;\end{array}$$
(b) $$f(x)=\{\begin{array}{ll}a-|x|& |x|\le a,\\ 0& |x|>a;\end{array}$$
© $$f(x)=\{\begin{array}{ll}(a-|x|{)}^2& |x|\le a,\\ 0& |x|>a;\end{array}$$
(d) $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{a}^2-|x{|}^2& |x|\le a,\\ 0& |x|>a;\end{array}$$
(e) $$f(x)=e^{-\alpha |x|};$$
(f) $$f(x)=|x|e^{-\alpha |x|};$$
(g) $$f(x)=|x{|}^2{e}^{-\alpha |x|}.$$

提示：使用问题7(b)，观察到我们只需要计算 $$\hat{f}(0,\dots ,0,k)$$（即频率空间中沿最后一个坐标轴的值），并使用适当的坐标系（如 $$n=2$$ 时用极坐标，$$n=3$$ 时用球坐标等）。注意：此问题可针对 $$n=2$$、$$n=3$$ 或任意 $$n\ge 2$$ 求解。

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解决问题

问题7(a)：证明多维傅里叶变换的性质

多维傅里叶变换在 $${\mathbb{R}}^n$$ 上定义为：
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx,\text{其中}x\cdot \xi =\sum _{j=1}^n{x}_j{\xi }_j.$$
问题1（未提供）假设涉及一维傅里叶变换的标准性质，如线性、位移、调制、缩放、共轭、卷积等。这些性质在多维情况下类似成立，证明方法类似一维，通过积分变换直接验证。以下是关键性质及简要证明：

1. 线性：F{af+bg}=aF{f}+bF{g} \mathcal{F}\{a f + b g\} = a \mathcal{F}\{f\} + b \mathcal{F}\{g\} F{af+bg}=aF{f}+bF{g}
   证明：
   F{af+bg}(ξ)=∫Rn[af(x)+bg(x)]e−2πix⋅ξdx=a∫Rnf(x)e−2πix⋅ξdx+b∫Rng(x)e−2πix⋅ξdx=af^(ξ)+bg^(ξ). \mathcal{F}\{a f + b g\}(\xi) = \int_{\mathbb{R}^n} [a f(x) + b g(x)] e^{-2\pi i x \cdot \xi} dx = a \int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-2\pi i x \cdot \xi} dx + b \int_{\mathbb{R}^n} g(x) e^{-2\pi i x \cdot \xi} dx = a \hat{f}(\xi) + b \hat{g}(\xi). F{af+bg}(ξ)=∫Rn​[af(x)+bg(x)]e−2πix⋅ξdx=a∫Rn​f(x)e−2πix⋅ξdx+b∫Rn​g(x)e−2πix⋅ξdx=af^​(ξ)+bg^​(ξ).

2. 位移：若 $$g(x)=f(x-x_0)$$，则 $$\hat{g}(\xi )=e^{-2\pi i{x}_0\cdot \xi }\hat{f}(\xi )$$
   证明：
   令 $$y=x-x_0$$，则 $$dx=dy$$，
   $$\hat{g}(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x-x_0)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)e^{-2\pi i(y+x_0)\cdot \xi }dy=e^{-2\pi i{x}_0\cdot \xi }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)e^{-2\pi iy\cdot \xi }dy=e^{-2\pi i{x}_0\cdot \xi }\hat{f}(\xi ).$$

3. 调制：若 $$g(x)=e^{2\pi ix\cdot {\xi }_0}f(x)$$，则 $$\hat{g}(\xi )=\hat{f}(\xi -{\xi }_0)$$
   证明：
   $$\hat{g}(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{2\pi ix\cdot {\xi }_0}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)e^{-2\pi ix\cdot (\xi -{\xi }_0)}dx=\hat{f}(\xi -{\xi }_0).$$

4. 缩放：若 $$g(x)=f(ax)$$（$$a\ne 0$$ 实数），则 $$\hat{g}(\xi )=|a{|}^{-n}\hat{f}(a^{-1}\xi )$$
   证明：
   令 $$y=ax$$，则 $$dx=|a{|}^{-n}dy$$，
   $$\hat{g}(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(ax)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)e^{-2\pi i(a^{-1}y)\cdot \xi }|a{|}^{-n}dy=|a{|}^{-n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)e^{-2\pi iy\cdot (a^{-1}\xi )}dy=|a{|}^{-n}\hat{f}(a^{-1}\xi ).$$

5. 卷积：F{f∗g}=F{f}F{g} \mathcal{F}\{f * g\} = \mathcal{F}\{f\} \mathcal{F}\{g\} F{f∗g}=F{f}F{g}，其中 $$(f\ast g)(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)g(x-y)dy$$
   证明：
   F{f∗g}(ξ)=∫Rn(∫Rnf(y)g(x−y)dy)e−2πix⋅ξdx=∫Rnf(y)e−2πiy⋅ξ(∫Rng(z)e−2πiz⋅ξdz)dy=f^(ξ)g^(ξ), \mathcal{F}\{f * g\}(\xi) = \int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_{\mathbb{R}^n} f(y) g(x - y) dy \right) e^{-2\pi i x \cdot \xi} dx = \int_{\mathbb{R}^n} f(y) e^{-2\pi i y \cdot \xi} \left( \int_{\mathbb{R}^n} g(z) e^{-2\pi i z \cdot \xi} dz \right) dy = \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi), F{f∗g}(ξ)=∫Rn​(∫Rn​f(y)g(x−y)dy)e−2πix⋅ξdx=∫Rn​f(y)e−2πiy⋅ξ(∫Rn​g(z)e−2πiz⋅ξdz)dy=f^​(ξ)g^​(ξ),
   其中令 $$z=x-y$$.

这些性质与一维情况类似，证明依赖于积分的基本操作（如变量替换、Fubini 定理）。小节 5.2.5 应提供更多细节，但此处已覆盖主要内容。

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问题7(b)：证明旋转对称性的等价性

旋转对称性指 $$f(Qx)=f(x)$$ 对所有正交变换 $$Q$$（即 $$Q^{T}Q=I$$，$$\det Q=\pm 1$$) 成立。等价地，$$f(x)$$ 仅依赖于 $$|x|$$（即径向函数）。需证：$$f$$ 旋转对称当且仅当 $$\hat{f}$$ 旋转对称。

证明：
设 $$g(x)=f(Qx)$$。其傅里叶变换为：
$$\hat{g}(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(Qx)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx.$$
令 $$y=Qx$$，则 $$x=Q^{T}y$$（因为 $$Q$$ 正交，$$Q^{-1}=Q^T$$)，且 $$dx=dy$$（雅可比行列式为 $$|\det Q|=1$$)。代入得：
$$\hat{g}(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(y)e^{-2\pi i(Q^{T}y}$$