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【格与代数系统】示例

news 来源：原创 2025/6/24 21:28:41

【格与代数系统】格与代数系统汇总

例1

设(L,\vee,\wedge)是由(L,\leq )诱导的代数系统，则其上的二元运算满足（ABCD）

A.a\wedge b=b\wedge a.

B.a\vee a=a

C.a\wedge(a\vee b)=a

D.(a\vee b)\vee c=a\vee(b\vee c)

代数系统满足交换律、幂等律、吸收律、结合律

例2

([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})是（ABCD）

A.有界格

有界格：有最大、最小元

B.分配格

分配格：满足分配律

C.对偶格

对偶格：复原律+对偶律

复原律：(a^{\mathrm{c}})^{\mathrm{c}}=a

对偶律：(a\bigvee b)^\mathrm{c}=a^\mathrm{c}\bigwedge b^\mathrm{c},\quad(a\bigwedge b)^\mathrm{c}=a^\mathrm{c}\bigvee b^\mathrm{c}

D.完全格

完备格：非空子集都有上下确界

([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})不是有补格（有补格：每个元素都有补元）

对任意a \in \left ( 0,1 \right )，假设存在b \in \left [ 0,1 \right ]，使得b是a的补元

即有a\vee b=1,a\wedge b=0，故b=1，b=0，矛盾，故不存在b是a的补元，故([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})不是有补格

一般，若一个线性序集中的元素多于两个，那它一定不是有补格。

例3

代数系统([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})是优软代数（对）

优软代数：对偶+稠密+完全+无限分配律

证：

已知([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})是对偶格，由实数集的性质它是稠密的完全格，下正无限分配律：

一方面，对任意的$i\in I,b_i\leqslant\vee_{j\in I}b_j$，故对任意的$i\in I$，a\wedge b_i\leqslant a\wedge(\vee_{j\in I}b_j)，因此
\vee_{i\in I}(a\wedge b_i)\leqslant a\wedge(\vee_{j\in I}b_j)
另一方面：

(1) 若存在$i_0\in I$,使得$b_{i_0}>a$, 则 $a\wedge b_{i_0}=a$. 此时

a\wedge(\vee_{i\in I}b_i)\leqslant a=a\wedge b_{i_0}\leqslant \vee_{i\in I}(a\wedge b_i)

(2) 若对任意i\in I，b_i\leqslant a，则$a\wedge b_i= b_i$,且 $\vee_{i\in I}b_i\leqslant a$. 此时

a\wedge(\vee_{i\in I}b_i)=\vee_{i\in I}b_i=\vee_{i\in I}(a\wedge b_i)

因此，无限分配律第一个表达式成立，同理可得无限分配律第二个表达式，故无限分配律成立，故代数系统([0,1],V,\Lambda,\ ^{c})是优软代数。

例4

代数系统(\left\{0,1\right\},V,\Lambda,\ ^{c})是优软代数（错）

优软代数：对偶+稠密+完全+无限分配律

不满足稠密性

稠密性：任意两元间仍有一元

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