《高等数学》（同济大学·第7版）第五章第一节定积分的概念与性质

一、定积分概念的起源（从实际问题引入）

1. 两个经典问题

问题一：曲边梯形的面积
如何计算由曲线y=f(x)（f(x)≥0）、x轴、直线x=a和x=b围成的曲边梯形面积？

问题二：变速直线运动的路程
已知物体运动速度v(t)随时间变化，如何计算在时间区间[a,b]内走过的总路程？

2. 解决思路的共同点

“化整为零 → 近似代替 → 求和取极限”

二、定积分的精确定义（重点！）

1. 分割区间

将区间[a,b]任意分成n个子区间：
a = x₀ < x₁ < x₂ < … < xₙ = b
记Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁（第i个小区间长度）

2. 取点求和

在每个小区间[xᵢ₋₁,xᵢ]上任取一点ξᵢ，作黎曼和：
[ S_n = \sum_{i=1}^n f(ξ_i)Δx_i ]

3. 极限定义

如果当最大子区间长度λ=max{Δxᵢ}→0时，黎曼和的极限存在且唯一，则称f(x)在[a,b]上可积，并定义：
[ \int_a^b f(x)dx = \lim_{λ→0} \sum_{i=1}^n f(ξ_i)Δx_i ]

4. 几何意义

• 当f(x)≥0时，表示曲边梯形面积
• 当f(x)有正有负时，表示面积的代数和（x轴上方为正，下方为负）

三、定积分存在的充分条件

1. 可积函数类

① 闭区间上的连续函数必可积
② 只有有限个间断点的有界函数可积
③ 单调有界函数必可积

2. 不可积的例子

狄利克雷函数：
D(x) = {1, x∈Q; 0, x∉Q} 在[0,1]上不可积

四、定积分的基本性质（假设以下积分均存在）

1. 线性性质

[ \int_a^b [αf(x)+βg(x)]dx = α\int_a^b f(x)dx + β\int_a^b g(x)dx ]

2. 区间可加性

[ \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx ] （a<c<b）

3. 比较性质

若f(x)≤g(x)在[a,b]上恒成立，则：
[ \int_a^b f(x)dx ≤ \int_a^b g(x)dx ]

4. 积分中值定理

存在ξ∈[a,b]，使得：
[ \int_a^b f(x)dx = f(ξ)(b-a) ]

5. 对称区间积分性质

若f(x)在[-a,a]上连续：

• 奇函数：∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0
• 偶函数：∫₋ₐᵃ f(x)dx = 2∫₀ᵃ f(x)dx

五、定积分与不定积分的区别（重要对比）

特征	定积分	不定积分
结果形式	数值	函数族（含常数C）
几何意义	面积（代数和）	原函数
变量表示	积分变量可用任意符号	必须与微分变量一致
计算方式	通过极限定义	通过求原函数

六、典型例题解析

例题1：用定义计算∫₀¹ x² dx
解：

1. 等分区间：取xᵢ = i/n，Δxᵢ = 1/n
2. 取右端点ξᵢ = i/n
3. 黎曼和：
   [ S_n = \sum_{i=1}^n (i/n)^2·(1/n) = \frac{1}{n^3}\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} ]
4. 取极限：
   [ \lim_{n→∞} S_n = \frac{1}{3} ]

例题2：证明不等式 1 < ∫₀¹ eˣ² dx < e
解：

1. 在[0,1]上，1 ≤ eˣ² ≤ e
2. 由比较性质：
   [ \int₀¹ 1dx < \int₀¹ eˣ² dx < \int₀¹ edx ]
3. 计算得：1 < 积分值 < e

七、常见误区警示

错误类型	正确理解
混淆定积分与不定积分	定积分是数，不定积分是函数族
忽略积分区间	定积分的结果依赖于积分区间
错误使用对称性	必须先验证函数的奇偶性
误用积分中值定理	ξ的位置一般无法具体确定

八、现代应用实例

1. 物理学：计算变力做功、质心位置
2. 经济学：计算总收益、消费者剩余
3. 工程学：计算材料应力、流体压力
4. 概率论：连续型随机变量的概率密度积分