算法题（168）：逆序对

审题：

本题需要我们找到给定顺序数据的所有逆序对数并输出逆序对数

思路：
方法一：双层for循环

根据逆序对的定义，只要是满足索引和数值呈负相关的两个数，他们就是一个逆序对。

也就是说索引小的数值却比索引大的数值更大，此时就是逆序对

那么我们可以第一层循环确定逆序对的左值，然后第二层循环去寻找逆序对的右值。循环后就可以得出所有的逆序对数了

但是时间复杂度为n^2，运行次数为1e11级别，会超时

方法二：分治思想

其实我们可以模仿归并排序的方式进行逆序对查找，我们先将当前区间分为左段和右段，然后先查找左段区间内的逆序对数，右段区间内的逆序对数，最后查找左段区间与右段区间跨区间的逆序对数

其中查找左段和右段的逆序对数可以直接调用自身进行递归处理，因为他们是同样处理方法的问题

难点：跨区间逆序对数查找

由于进行跨区间查找之前左右段的内部逆序对数已经查找完成，且跨区间查找的结果不会受左右段自身顺序影响，所以我们对左右段区间进行升序排序是不会影响最终逆序对数的。

于是我们就可以利用双指针的思想查找跨区间逆序对了。

一共有三种情况

情况1：左边值小于右边值

由于两段区间都是升序排序的，此时说明cur1所指向的数据不可能组成逆序对，直接cur1++

情况2：左边值等于右边值

与情况1类似，此时也是不可能组成逆序对

情况3：左边值大于右边值

此时cur2所指向的数据和cur1所指向的数据可以组成逆序对，且由于cur1后面的数据也是大于cur1所指向的数据的，所以cur2指向的数据也可以和剩下的左段区间cur1后面的所有数据组成逆序对

综上：递归函数的功能就是先对区间查找逆序对数并返回，查找完成后再进行升序排序

解题：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10;
typedef long long ll;
int n;
ll a[N], tmp[N];
//先计算当前区间的逆序对次数并返回然后排序当前区间
ll merge(int left, int right)
{if (left >= right) return 0;ll cnt = 0;int mid = (left + right) / 2;//分别统计左段区间和右端区间的逆序对数并将他们进行排序cnt += merge(left, mid);cnt += merge(mid + 1, right);//根据排好序的左右区间计算跨区间逆序对数int cur1 = left; int cur2 = mid + 1;int i = left;while (cur1 <= mid && cur2 <= right){if (a[cur1] <= a[cur2]) tmp[i++] = a[cur1++];else{cnt += mid - cur1 + 1;//计上逆序对数tmp[i++] = a[cur2++];}}while (cur1 <= mid) tmp[i++] = a[cur1++];while (cur2 <= right) tmp[i++] = a[cur2++];//对当前left~right区间进行排序for (int j = left; j <= right; j++){a[j] = tmp[j];}return cnt;
}
int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> a[i];}cout << merge(1, n) << endl;return 0;
}

1.tmp是要用来将数据按顺序存入然后将数据转入a数组的模拟数组，用于让区间变为升序

2.cnt需要为longlong类型，因为数据个数有5e5，但是逆序对对数可能会有极多对。

P1908 逆序对 - 洛谷