【11408学习记录】考研数学核心突破：矩阵本质、系统信息与向量空间基

数学

线性代数

矩阵的本质

矩阵——表达系统信息。

何为系统？

这里我们以行列式为例进行说明。在行列式中，我们学过由行列式的性质3拓展得到的 倍乘性质：

• 性质3：若行列式中某行（列）元素有公因式 $k(k\ne 0)$ ，则 $k$ 可提到行列式外面。
• 倍乘性质：行列式的 $k(k\ne 0)$ 倍可以倍乘到行列式中的某行（列）中。

如果从系统的角度来看，行列式中，各行之间都是一个独立的系统，行与行之间都是互不干扰的，但是在矩阵中，矩阵的 $k(k\ne 0)$ 倍需要倍乘到矩阵的每一个元素中，即：

$$kA=\left[\begin{array}{cccc}k{a}_{11}& k{a}_{12}& \cdots & k{a}_{1n}\\ k{a}_{21}& k{a}_{22}& \cdots & k{a}_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ k{a}_{n1}& k{a}_{n2}& \cdots & k{a}_{nn}\end{array}\right]$$

从倍乘的这个角度来看，矩阵中的所有元素都是一个整体，这个整体也就是我们前面提到的系统。

n维向量空间中的一个基可以表达所有信息

什么是基？

简单的理解，就是两个正交垂直的向量，我们一般用单位向量：$i=(1,0),j=(0,1)$ 来作为二维向量空间中的基，那么对于向量 $a=(2,3)$ 我们就可以表示为：$a=2i+3j$ 。

但是这并不代表基一定是单位向量，矩阵的基可以总结为2点：

• 在平面上的两个向量是正交垂直的，那这两个向量就可以作为基来表达平面中的所有向量
• 任何一个矩阵，一定可以通过代数方法找到他的基，即可以找到一个矩阵中的一种信息（一组向量），这些向量（作为基）可以形成一个空间，剩下的矩阵中的信息，都可以由这个基（向量）表示出来

如果还无法理解这个基的话，那我们就拿日常生活中的例子来说明，就比如一瓶水的价格是2元，我们以水的价格作为参照的话，那一杯9.9元的咖啡，就等于5瓶水，一个50元的西瓜，就等于25瓶水……

在这个例子中，水就可以用来描述现实生活中其他商品，此时的水就可以作为其它商品的单位。

类比到矩阵中，矩阵的基就是现实生活中可以用来描述其它商品的水，通过这个基，在同一个向量空间中的所有向量都能够被表示出来。

矩阵信息表达中的关系

矩阵常被用来表达各种信息，就比如通过矩阵表达书的信息：

	书单价	出版日期
书1	49.8	2020.09
书2	79.9	2024.03

那我们就可以通过一个二维向量来表达一本书的书单价和出版日期，多个二维向量组合在一起，就能够组成多种二维矩阵，比如：

• 二个二维向量可以组合成一个二维方阵
• 三个二维向量可以组合成一个 $3\times 2$ 的矩阵

在实际的问题中，矩阵往往具有很多奇奇怪怪的形状，不一定都是 $n\times n$ 的方阵。对于矩阵，存在两个重要的观点：

• 观点1：矩阵是由若干个行（列）向量拼成
• 观点2：矩阵不能运算，但是其若干个行（列）向量之间可能存在某种关系

英语

每日一句

The potential evolution of today’s technology, and its social consequences, is dazzlingly complicated, and it’s perhaps best left to science fiction writers and futurologists to explore the many possibilities we can envisage.(2013, Reading Comprehension, Part A Text 3)

词汇

evolution: n. 发展，进化；演变
evolutionary: adj. 进化的，发展的；演变的
evolve: v. 进化，发展；演变
social consequence: 社会影响
consequence: n. 结果；重要性
consequent: adj. 随之发生的，作为结果的
consequently: adv. 因此，结果，所以
dazzlingly: adv. 令人眩晕地；耀眼地
complicated: adj. 复杂的，难懂的
science fiction: 科幻小说
futurologist: n. 未来学家
explore the many possibilities: 探索许多的可能性

第一步：找谓语

The potential evolution of today’s technology, and its social consequences, is dazzlingly complicated, and it’s perhaps best left to science fiction writers and futurologists to explore the many possibilities we can envisage.

第二步：断句

原句中有3处谓语，包含3件事，其谓语分布在以下位置：

• is 为主句谓语
• 's left 为并列句主句谓语
• can envisage 为省略了引导词that的定语从句的谓语

原句按照标点、引导词以及谓语可以分为以下分句：

• The potential evolution of today’s technology, and its social consequences, is dazzlingly complicated, —— 主句1
• and it’s perhaps best left to science fiction writers and futurologists to explore the many possibilities —— 主句2
• we can envisage. —— 定语从句

第三步：简化

主句1

The potential evolution of today’s technology, and its social consequences, is dazzlingly complicated,

• 主句主语部分：The potential evolution of today’s technology, and its social consequences,
  • 定冠词：the 修饰名词：evolution
  • 形容词：potential 修饰名词：evolution
  • 名词：evolution 为主句主语核心词
  • 介词短语：of today’s technology, and its social consequences, 作为后置定语，修饰主语：evolution，解释说明主语的范围
    • 名词所有格：today’s 修饰名词：technology，名词：technology为介词：of的宾语
    • 形容词性物主代词：its 修饰名词：consequences
    • 形容词：social 修饰名词：consequences
    • 名词：consequences 由并列连词：and连接，与名词：technology共同构成并列结构，作为介词：of的宾语
• 主句谓语部分：is 为系动词，后接表语
• 主句表语部分：dazzlingly complicated,
  • 副词：dazzlingly 修饰形容词：complicated
  • 形容词：complicated 为主句表语核心词

忽略主句扩展部分，就得到了主句的核心：

• …… evolution …… is …… complicated —— …… 进化 …… 是 …… 复杂的

主句2

and it’s perhaps best left to science fiction writers and futurologists to explore the many possibilities

• 并列连词：and 连接两个主句，构成并列结构
• 主句主语部分：it …… to explore the many possibilities
  • it 为主句的形式主语，代替真正的主语： to explore the many possibilities
  • 动词不定式短语： to explore the many possibilities为主句真正的主语
    • 定冠词：the 修饰名词：possibilities
    • 限定词：many 修饰名词：possibilities
    • 名词：possibilities 为动词：explore的宾语
• 主句谓语部分：’s perhaps best left 为被动语态
  • 副词：perhaps 修饰主句，表达推测语气
  • 副词：best 修饰动词：left
• 主句状语部分：to science fiction writers and futurologists 作为对象状语，修饰动词：left，表示动作涉及的对象
  • 名词词组：science fiction 修饰名词：writers
  • 名词：writers 与名词：futurologists 由并列连词：and 连接，构成并列结构，共同作为介词：to的宾语

忽略主句扩展部分，就得到了主句的核心：

• and it’s …… left …… to explore …… possibilities —— 并且它被……留下……去探索……可能性

定语从句

we can envisage.

• 从句引导词：that 被省略，该从句为限制性定语从句，修饰名词：possibilities
• 从句主语部分：we
• 从句谓语部分：can envisage

忽略从句扩展部分，就得到了从句核心：

• we can envisage —— 我们能想到的