归并排序算法及其在算法中的应用

1 归并排序算法实现步骤

归并排序的实现可以分为以下几个步骤：

1.1 分解（Divide）：

将当前数组从中间分成两个子数组，递归地对这两个子数组继续进行分解，直到每个子数组只包含一个元素（此时子数组自然有序）。

1.2 解决（Conquer）：

递归地对分解得到的子数组进行排序。由于每个子数组最终会被分解到只包含一个元素，因此排序操作实际上是在合并过程中完成的。

1.3 合并（Merge）：

将两个已排序的子数组合并成一个有序数组。这是归并排序的核心操作，需要比较两个子数组的元素，按顺序放入新的数组中。

2 归并算法实现示意图

初始数组: [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]分解阶段:[38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]/                \[38, 27, 43, 3]      [9, 82, 10]/        \           /      \[38, 27]    [43, 3]    [9, 82]   [10]/    \      /    \     /    \     |[38]  [27]  [43]  [3]  [9]   [82]  [10]合并阶段:[38]  [27]  [43]  [3]  [9]   [82]  [10]\    /      \    /     \    /     |[27, 38]    [3, 43]    [9, 82]   [10]\          /          \        /[3, 27, 38, 43]      [9, 10, 82]\                  /[3, 9, 10, 27, 38, 43, 82]

3 归并排序算法实现

3.1 算法实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 合并两个已排序的子数组
void merge(vector<int>& arr, int left, int mid, int right) {int n1 = mid - left + 1;  // 左子数组的长度int n2 = right - mid;     // 右子数组的长度// 创建临时数组vector<int> L(n1), R(n2);// 复制数据到临时数组L[]和R[]for (int i = 0; i < n1; i++)L[i] = arr[left + i];for (int j = 0; j < n2; j++)R[j] = arr[mid + 1 + j];// 归并临时数组到arr[left..right]int i = 0;    // 初始化左子数组的索引int j = 0;    // 初始化右子数组的索引int k = left; // 初始归并子数组的索引while (i < n1 && j < n2) {if (L[i] <= R[j]) {arr[k] = L[i];i++;} else {arr[k] = R[j];j++;}k++;}// 复制L[]的剩余元素while (i < n1) {arr[k] = L[i];i++;k++;}// 复制R[]的剩余元素while (j < n2) {arr[k] = R[j];j++;k++;}
}// 归并排序主函数
void mergeSort(vector<int>& arr, int left, int right) {if (left < right) {// 计算中间点int mid = left + (right - left) / 2;// 递归排序左右两部分mergeSort(arr, left, mid);mergeSort(arr, mid + 1, right);// 合并已排序的两部分merge(arr, left, mid, right);}
}// 打印数组元素
void printArray(const vector<int>& arr) {for (int num : arr)cout << num << " ";cout << endl;
}int main() {vector<int> arr = {38, 27, 43, 3, 9, 82, 10};cout << "排序前的数组: ";printArray(arr);// 执行归并排序mergeSort(arr, 0, arr.size() - 1);cout << "排序后的数组: ";printArray(arr);return 0;
}

3.2 算法代码实现简单解释：

3.2.1 merge 函数：

将两个已排序的子数组合并为一个有序数组。

• 创建临时数组存储左右子数组
• 比较左右子数组元素，按顺序放入原数组
• 处理剩余元素

3.2.2 mergeSort 函数：

递归实现分治策略

• 分解：将数组从中间分成两部分
• 解决：递归排序左右两部分
• 合并：调用 merge 函数合并已排序的部分

3.2.3 main 函数：

演示归并排序的使用

• 初始化测试数组
• 调用排序函数
• 输出排序结果

4 数组中的逆序对

BM20 数组中的逆序对

#include <vector>
class Solution {
public:/*** 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可** * @param nums int整型vector * @return int整型*/int mod = 1000000007;int mergeSort(vector<int> &nums, int left, int right) {if (left >= right) {return 0;}int mid = (left + right) / 2;int res = mergeSort(nums, left, mid) + mergeSort(nums, mid + 1, right);res %= mod;int n1 = mid - left + 1;int n2 = right - mid;vector<int> L(n1), R(n2);for (int i = 0; i < n1; i++) {L[i] = nums[left + i];}for (int i = 0; i < n2; i++) {R[i] = nums[mid + i + 1];}int i = 0, j = 0, k = left;while (i < n1 && j < n2) {if (i == mid + 1) {nums[k++] = R[j++];} else if (j == right + 1) {nums[k++] = L[i++];} else if (L[i] <= R[j]) {nums[k++] = L[i++];} else {nums[k++] = R[j++];res += mid - left - i + 1;}}while (i < n1) {nums[k++] = L[i++];}while (j < n2) {nums[k++] = R[j++];}return res % mod;}int InversePairs(vector<int>& nums) {int res = 0;int n = nums.size();res = mergeSort(nums, 0, n - 1);for (int i = 0; i < n; i++) {cout << nums[i];}return res;}
};