多元隐函数 偏导公式法 （显示变化 + 隐式变化）

📌 背景：

你有一个三元函数：

$$F(x,y,z)$$

现在把 $z=z(x,y)$ 看作是隐函数，所以整个函数变成了二元复合函数：

$$F(x,y,z(x,y))$$

这个时候，我们要求它对 $x$ 的偏导数：

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✅ 第一步：链式法则适用

函数 $F(x,y,z(x,y))$ 是复合函数，形式上依赖于 $x$ 有两条路径：

• $F$ 显式地依赖于 $x$
• $F$ 还通过 $z(x,y)$ 间接依赖于 $x$

因此根据链式法则（多元复合函数的偏导规则），我们写出总偏导：

$$\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z(x,y))=\underset{\text{显式变化}}{\underbrace{\frac{\partial F}{\partial x}}}+\underset{\text{通过 z 的变化}}{\underbrace{\frac{\partial F}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}}}$$

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❓问题核心：

$$\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z(x,y))\text{和}\frac{\partial F}{\partial x}$$

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❌ 不是一样的！

这两个东西长得像，但含义完全不同。

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🔍 区别详解：

表达式	含义	是否考虑 $z=z(x,y)$ 的影响？
$\frac{\partial F}{\partial x}$	偏导：只看 F 对 x 的显式变化，把 z 当常数	❌ 不考虑 z 变动
$\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z(x,y))$	复合函数的导数：F 的输入有三维，而 z 又是 x 的函数，链式法则要考虑所有路径	✅ 考虑 z 对 x 的影响

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🧠 举个具体的例子

设：

$$F(x,y,z)=xz+y,z=z(x,y)$$

情况一：

直接偏导：

$$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial (xz+y)}{\partial x}=z\text{（把 z 看成常数）}$$

情况二：

复合函数导数：

$$\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z(x,y))=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}$$

代入：

$$=z+x\cdot \frac{\partial z}{\partial x}$$

⚠️ 两者显然不一样。

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✅ 总结：

$$\boxed{\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z(x,y))\ne \frac{\partial F}{\partial x}}$$

前者是复合函数的偏导，需要用链式法则，后者只是普通偏导数，只考虑显式项，把 $z$ 当常数。

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🧩 本质是：

为什么我们在写：

$$\frac{\partial F}{\partial x}$$

的时候，要把 z 当成常数，而不是考虑 $z=z(x,y)$ 的关系？

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🌰 举个现实例子：

情景设定：

我们有一个函数：

$$F(x,y,z)=xz+y$$

而你又知道 $z=z(x,y)=x+y$

也就是说，F 实际上是：

$$F(x,y)=x(x+y)+y=x^2+xy+y$$

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两种不同视角（这就是你困惑的源头）：

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✅ 第 1 种写法：

$$\frac{\partial F}{\partial x}$$

这表示：你把 F 当成是原始函数 $F(x,y,z)$，不去理会 z 实际等于什么。

• 你只考虑 z 是一个“独立变量”，不依赖 x
• 所以你在求导的时候，只对 F 里出现的 “x” 部分做求导，把 z 当成常数处理！

所以：

$$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial (xz+y)}{\partial x}=z$$

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✅ 第 2 种写法（你真正想要的）：

$$\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z(x,y))=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial x}$$

这里你考虑的是：

“我知道 $z=z(x,y)$，所以当 x 变时，z 也变，从而影响 F”

这是复合函数，需要用链式法则。

我们刚刚的例子中：

• $\frac{\partial F}{\partial x}=z$
• $\frac{\partial F}{\partial z}=x$
• $\frac{\partial z}{\partial x}=1$

所以：

$$\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z(x,y))=z+x\cdot 1=z+x=x+y+x=2x+y$$

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✅ 核心总结：

表达式	看法	把 z 当常数吗？	是否用链式法则
$\frac{\partial F}{\partial x}$	看 F 是 3 个变量的函数，不管 z 是不是函数	✅ 是	❌ 否
$\frac{\partial }{\partial x}F(x,y,z(x,y))$	z 是 x, y 的函数，F 是复合函数	❌ 否	✅ 是

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