山东大学算法设计与分析复习笔记
名词解释
O、Ω、θ的定义（渐近复杂度符号）
- O（Big O）：表示上界，说明算法的复杂度不超过某个函数，定义为：
若存在正数常数c，n0，使当n≥n0时，有
T(n)≤c⋅f(n)
则记为：T(n)=O(f(n))
- Ω（Omega）：表示下界，说明算法的复杂度至少是某个函数，定义为：
存在正数常数c，n0，使当n≥n0时，有
T(n)≥c⋅f(n)
则记为：T(n)=Ω(f(n))
- θ（Theta）：表示紧确界，算法的复杂度是f(n)的渐近界：
存在正数常数c1,c2，n0，使当n≥n0时，有
c1⋅f(n)≤T(n)≤c2⋅f(n)
则记为：T(n)=Θ(f(n))
P、NP、NPC问题的定义以及归约的定义
归约问题
将3SAT问题归约到团问题
3SAT问题定义
-
输入：一个由若干子句（clauses）构成的布尔逻辑表达式（合取范式，CNF），其中每个子句恰好包含3个文字（literal，即变量或其否定）。
(x1∨¬x2∨x3)∧(¬x1∨x4∨¬x5)∧(x2∨x3∨¬x4)
示例： -
问题：是否存在一组对变量的赋值（真/假），使得整个表达式为真（所有子句均被满足）？
团问题定义：
给定一个无向图G=(V,E)和整数k，判断是否存在大小为k的完全子集（即团）。
归约构造：
设3-SAT实例有 m 个子句 C1,C2,…,Cm每个子句含3个文字。构造图 G：
顶点：为每个子句 Ci中的每个文字创建一个顶点（如子句 (x1∨¬x2∨x3)对应顶点 vi1,vi2,vi3)。
边：连接不同子句的顶点，除非它们互为否定（如 x1 和 ¬x1 无边）。
参数设置：令 k=m（子句数）。
正确性证明：
若3-SAT可满足：存在赋值使每个子句至少一个文字为真。从每个子句选一个真文字对应的顶点，构成集合 V′。因不同子句的顶点无边当且仅当冲突，而赋值无冲突，故 V′ 中任意两点有边 → 形成大小为 k=m的团。
若 G 有大小为 k=m 的团：团中顶点来自不同子句（因同子句内无边）。选择这些顶点对应的文字赋值为真，无冲突（因无边仅存于非互斥文字间） → 满足所有子句。
结论：团问题 ∈ NP，且3-SAT ≤ₚ 团问题 → 团问题是NP完全问题（依据PPT中“若X是NP完全且X≤ₚY，则Y是NP完全”）。
将团问题规约到顶点覆盖问题
归约构造：
给定团问题实例 (G,k)，构造其补图 Gˉ=(V,Eˉ)（Eˉ包含所有 G 中不存在的边）。
设顶点覆盖实例为 (Gˉ,∣V∣−k)
正确性证明：
若 G 有大小为 k 的团 V′：
在 Gˉ中，V′ 内任意两点无边 → Gˉ 的每条边至少有一个端点不在 V′ → V∖V′ 覆盖 Gˉ 的所有边，且 ∣V∖V′∣=∣V∣−k。若 Gˉ有大小为 ∣V∣−k的顶点覆盖 C：
则 V∖C在 Gˉ 中无边 → 在 G 中 V∖C 内任意两点均有边 →V∖C 是 G 的大小为 k 的团。归约时间：构造补图 Gˉ 需 O(∣V∣2)时间（检查所有顶点对），是多项式时间。
结论：顶点覆盖问题 ∈ NP，且团问题 ≤ₚ 顶点覆盖问题 → 顶点覆盖问题是NP完全问题（依据归约传递性）。
将团问题规约到子图同构问题
子图同构问题：
给定两个图G1和G2，判断是否存在一个顶点映射，使得G1保持结构地“同构”到G2的子图。
给定团问题实例：
图 G=(V,E)
目标团大小 k
构造子图同构实例：
令 H为完全图 Kk（即 k 个顶点，两两相连）。
问题转化为：判断 H 是否是 G 的子图同构
证明
若 G有大小为 k 的团：
则该团本身就是一个完全图 Kk，与 H 同构。
因此，子图同构问题的答案为“是”。
若 H 是 G 的子图同构：
则 G 必须包含 k 个顶点，两两相连，即构成一个团。
因此，原团问题的答案为“是”。
结论：
Clique(G,k) ⟺ SubgraphIsomorphism(G,Kk)Clique(G,k)⟺SubgraphIsomorphism(G,Kk)
即，团问题可以归约到子图同构问题。
贪心算法正确性证明
1. 定义贪心选择策略（如：选结束最早的活动/单位价值最高的物品）。
2. 证明贪心选择性质：
- 设 S 是不含贪心选择 a 的最优解。
- 构造 S' = (S - {b}) ∪ {a}（b 是 S 中某个元素）。
- 证明 S' 可行且价值 ≥ S。
3. 证明最优子结构：
- 设原问题最优解为 {a} ∪ S_sub。
- 若 S_sub 不是子问题最优解，则存在更优解 S_sub'，导致 {a} ∪ S_sub' 优于原解，矛盾。
4. 由数学归纳法：算法每一步均保持最优性。
计算最大流
计算时间复杂度
分治例题
归并排序伪代码
function merge_sort(arr):if length(arr) <= 1:return arrmid = length(arr) // 2left = arr[0:mid]right = arr[mid:]// 递归排序左右子数组sorted_left = merge_sort(left)sorted_right = merge_sort(right)// 合并两个已排序数组return merge(sorted_left, sorted_right)function merge(left, right):result = []i = 0j = 0while i < length(left) and j < length(right):if left[i] <= right[j]:result.append(left[i])i += 1else:result.append(right[j])j += 1// 复制剩余元素while i < length(left):result.append(left[i])i += 1while j < length(right):result.append(right[j])j += 1return result寻找一个序列中倒置（inversions）的数量，若前面的数比后面的数大，就形成一个倒置，例如74385中有74，73，75，43，85五个（具体案例记不清了，大概是这些数），参考归并排序算法，写出基本思想，伪代码，时间复杂度
-
分治：将序列分成左右两半，递归计算左半部分的倒置数和右半部分的倒置数。
-
合并：在合并左右两部分时，如果左半部分的某个元素
A[i]大于右半部分的某个元素A[j]，则A[i]及其后面的所有左半部分元素都会与A[j]形成倒置（因为左右部分已经分别有序）。-
因此，倒置数可以增加
mid - i + 1（其中mid是左半部分的最后一个位置）。
-
这种方法的时间复杂度为 O(n log n)，与归并排序相同。
function countInversions(A):n = length(A)if n <= 1:return 0 // 单个元素无倒置mid = n // 2left = A[0..mid-1]right = A[mid..n-1]inversions = countInversions(left) + countInversions(right) // 递归计算左右部分的倒置inversions += mergeAndCount(A, left, right) // 合并并统计跨越左右的倒置return inversionsfunction mergeAndCount(A, left, right):i = j = k = 0inversions = 0while i < length(left) and j < length(right):if left[i] <= right[j]:A[k] = left[i]i += 1else:A[k] = right[j]inversions += (length(left) - i) // 左半剩余元素均与 right[j] 形成倒置j += 1k += 1// 处理剩余元素while i < length(left):A[k] = left[i]i += 1k += 1while j < length(right):A[k] = right[j]j += 1k += 1return inversions最大子数组
DP问题
钢条切割问题
自底向上的记忆化搜索并记录每次最优解的切割点为s
矩阵链乘法
通过动态规划自底向上计算所有可能的矩阵链分割方式，选择乘法代价最小的分割点，逐步构建最优解。枚举所有长度的矩阵链下,遍历选择代价最小的分割点并记录.
-
m[i,k]：左子链 Ai…Ak 的最小代价。
-
m[k+1,j]：右子链 Ak+1…Aj的最小代价。
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pi−1pkpj：合并左右子链的代价（即两个结果矩阵相乘的代价）。
最大公共子序列问题
贪心例题
01背包
活动选择问题
选择局部最优即每次选择结束时间最早的活动,就能剩下更多时间给后面活动选择.
时间复杂度O(n+nlgn)->O(nlgn) 将活动按结束时间递增排序
注意检查合法性
单源最短路径问题
迪杰斯特拉算法
-
维护一个优先队列（最小堆），每次选择当前距离 s 最近的未访问顶点 u（即 u.d 最小）。
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松弛（Relax）操作：对 u 的所有邻接顶点 v，检查是否可以通过 u 缩短 v 到 s 的距离（即 v.d>u.d+w(u,v) 时更新 v.d）。(u.Π是前驱节点)
-
逐步扩展已确定最短路径的集合 S，直到所有顶点被处理。
贝尔曼福德算法
记住n-1次松弛,如果第n次还能松那就是有负权边
所有顶点对之间的最短路
按边数分解的（基于矩阵乘法的）动态规划算法
- 计算
D[1] = W（初始权重矩阵）。-
通过类似矩阵乘法的方式，计算
D[2] = D[1] * D[1]，D[4] = D[2] * D[2]，直到D[m]（其中m ≥ n-1）。 -
每次“乘法”操作的时间复杂度是
O(n³)，共进行O(log n)次，总时间复杂度O(n³ log n)。
-
-
检测负权环：
-
计算
D[n]，如果D[n] != D[n-1]，说明存在负权环（因为最短路径可以无限绕环降低权重）。
-
Floyd-Warshall 算法（按顶点编号分解）
循环1-n作为中间节点时,对矩阵进行松弛更新
矩阵更新D(1)表示允许以1作为中间节点时的矩阵
近似算法
Makespan（负载均衡）问题
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问题描述：将 nn 个任务分配到 mm 台机器上，最小化所有机器的最大负载（完成时间）。
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算法思想（贪心策略）：
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List Scheduling：按顺序将每个任务分配给当前负载最小的机器。
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Longest Processing Time First (LPT)：先按任务处理时间从大到小排序，再用 List Scheduling 分配。
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顶点覆盖问题
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问题描述：在无向图中找到一个最小的顶点集合，覆盖所有的边。
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算法思想（基于极大匹配）：
- 每次都挑选一条未覆盖的边（步骤3）。
- 为了覆盖这条边，将它的两个端点（u和v）加入集合C（步骤4）。
- 移除所有被u或v覆盖的边，减少未覆盖边（步骤5）。
- 重复上述过程直到所有边都被覆盖。
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旅行商问题（TSP，满足三角不等式）
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问题描述：在完全图中，找到一个经过所有顶点的最小权重哈密顿回路（满足三角不等式）。
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算法思想：
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用 Prim 或 Kruskal 算法构造最小生成树（MST）。
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对 MST 进行前序遍历，得到访问顺序。
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跳过重复顶点，直接按前序遍历顺序构造哈密顿回路。
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MST-PRIM(G, w, r) 1 for each u ∈ G.V # 初始化所有顶点的键值和父节点 2 u.key = ∞ # 键值表示连接到当前树的最小边权 3 u.π = NIL # 父节点初始为空 4 r.key = 0 # 任选根节点 r，键值设为 0 5 Q = G.V # 优先队列 Q 包含所有顶点 6 while Q ≠ ∅ 7 u = Extract-Min(Q) # 取出键值最小的顶点 u（首次为 r） 8 for each v ∈ G.Adj[u] # 遍历 u 的邻接顶点 v 9 if v ∈ Q and w(u,v) < v.key 10 v.π = u # 更新 v 的父节点为 u 11 v.key = w(u,v) # 更新 v 的键值为边权 w(u,v)
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