c++算法学习3——深度优先搜索

一、深度优先搜索的核心概念

DFS算法是一种通过递归或栈实现的"一条路走到底"的搜索策略，其核心思想是：

1. 深度优先：从起点出发，选择一个方向探索到底，直到无路可走

2. 回溯机制：遇到死路时返回最近的分叉点尝试其他路径

3. 状态标记：记录已访问位置，避免重复访问

二、迷宫问题的DFS解法框架

1. 题目引入：​

给定一个 n×n 的迷宫矩阵，判断是否存在从左上角 (0,0) 到右下角 (n-1,n-1) 的通路。移动规则如下：

1. ​​移动方向​​：每次只能向 ​​上、下、左、右​​ 四个方向移动一格
2. ​​通行规则​​：
   • . 表示可通行的路径
   • # 表示不可通行的墙壁
3. ​​特殊条件​​：
   • 若入口 (0,0) 或出口 (n-1,n-1) 为墙壁（#），直接判定为不可达
   • 路径不可走出迷宫边界

     ​​输入格式​​

•      ​​第1行​​：正整数 n (1 ≤ n ≤ 100)，表示迷宫规模
•     ​​后续n行​​：每行包含 n 个字符（. 或 #），用空格分隔，表示迷宫矩阵

    ​​示例输入​​：

   4

   . # . .

   . . # .

   # . . .

   . . . .

     ​​输出格式​：​

•  若存在路径，输出 YES
•  否则输出 NO

​​     示例输出​​：

  YES

2. 题目分析：

在走迷宫时，面临四个选择方向，我们可以按顺时针方向依次尝试。

首先观察右边，若可行则走向右边，并按相同方法继续探索；

接着查看下方，若可行则走向下方，再按相同方法探索；

然后查看左边，若可行则走向左边，继续按相同方式探索；

最后查看上方，若可行则走向上方，并继续以相同方式前进。

3.需要准备的工作

const int N = 110;  // 迷宫最大尺寸
char maze[N][N];    // 存储迷宫地图
bool visited[N][N]; // 标记访问状态
int n;              // 迷宫尺寸
// 方向数组：右→下→左→上（顺时针）
int dx[4] = {0, 1, 0, -1};
int dy[4] = {1, 0, -1, 0};

4. DFS核心模板

void dfs(int x, int y) {// 1. 边界判断：到达终点if (x == n-1 && y == n-1) {success = true;return;}// 2. 尝试四个方向for (int i = 0; i < 4; i++) {int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];// 3. 检查新位置有效性if (nx >=0 && nx <n && ny>=0 && ny<n && !visited[nx][ny] && maze[nx][ny]=='.') {visited[nx][ny] = true; // 标记已访问dfs(nx, ny);            // 递归探索// visited[nx][ny] = false; // 回溯时需要取消标记}}
}

三、无回溯DFS：判断路径存在性

问题要求：只判断能否从入口(0,0)走到出口(n-1,n-1)

关键实现：

// 初始化：标记障碍物
for (int i=0; i<n; i++) {for (int j=0; j<n; j++) {if (maze[i][j] == '#') visited[i][j] = true;}
}// 检查入口/出口有效性
if (maze[0][0]=='#' || maze[n-1][n-1]=='#') {cout << "NO";return 0;
}// 启动DFS
visited[0][0] = true;
dfs(0, 0);// 输出结果
cout << (success ? "YES" : "NO");

算法特点

1. 不需要回溯：找到一条路径即可停止

2. 不恢复访问标记：已探索区域无需重复访问

3. 空间优化：使用visited数组避免循环

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四、有回溯DFS：统计路径数量

问题变体：我们把最开始的问题改变一下，不求能否通过迷宫，而是计算从入口到出口的所有能通行的路径数量。

关键修改：

int pathCount = 0;  // 全局路径计数器void dfs(int x, int y) {if (x == n-1 && y == n-1) {pathCount++;  // 找到一条路径return;}for (int i=0; i<4; i++) {int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];if (nx>=0 && nx<n && ny>=0 && ny<n && !visited[nx][ny] && maze[nx][ny]=='.') {visited[nx][ny] = true;  // 标记占用dfs(nx, ny);visited[nx][ny] = false; // 关键回溯：释放位置}}
}

回溯机制图解

起点(0,0)
├─ 右→ (0,1) → ... → 终点 → 回溯
├─ 下→ (1,0) → ... → 终点 → 回溯
├─ 左→ 无效
└─ 上→ 无效

每次递归返回时取消标记，允许其他路径使用该位置

五、DFS执行过程分析

栈结构模拟（以3x3迷宫为例）：

步骤 | 栈状态         | 当前动作
-----|---------------|-----------
1    | (0,0)         | 探索右侧(0,1)
2    | (0,0),(0,1)   | 探索下方(1,1)
3    | (0,0),(0,1)   | (1,1)是死路，回溯
4    | (0,0)         | 探索下方(1,0)
5    | (0,0),(1,0)   | 到达终点(2,2)

时间复杂度：O(4^n) 最坏情况（指数级）
空间复杂度：O(n²) 由递归深度决定