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[蓝桥杯]三元组中心问题

news 来源：原创 2025/6/6 18:21:27

三元组中心问题

题目描述

在数列 a1,a2,⋯,ana1,a2,⋯,an 中，如果对于下标 i,j,ki,j,k 满足 0<i<j<k<n+10<i<j<k<n+1 且 ai<aj<akai<aj<ak，则称 ai,aj,akai,aj,ak 为一组递增三元组，ajaj 为递增三元组的中心。

给定一个数列，请问数列中有多少个元素可能是递增三元组的中心。

输入描述

输入的第一行包含一个整数 nn。

第二行包含 nn 个整数 a1,a2,⋯,ana1,a2,⋯,an，相邻的整数间用空格分隔，表示给定的数列。

其中，2≤n≤1000，0≤数列中的数≤100002≤n≤1000，0≤数列中的数≤10000。

输出描述

输出一行包含一个整数，表示答案。

输入输出样例

示例

输入

5
1 2 5 3 5

输出

样例说明:

a2a2 和 a4a4 可能是三元组的中心。

运行限制

最大运行时间：1s
最大运行内存: 256M

总通过次数: 3438 | 总提交次数: 3870 | 通过率: 88.8%

难度: 困难标签: 2020, 模拟, 思维, 省模拟赛

三元组中心问题算法详解

问题描述

给定一个数列，统计有多少个元素可以作为递增三元组的中心，即存在下标 i, j, k 满足 0 < i < j < k < n+1 且 a_i < a_j < a_k。

算法思路

核心思想

对于每个位置 j，检查其左侧是否存在小于 a[j] 的元素，右侧是否存在大于 a[j] 的元素。若两者同时满足，则 a[j] 可作为三元组的中心。

暴力法（推荐）

时间复杂度：O(n²)，适用于 n ≤ 1000（1000² = 1e6 次操作，在 1 秒内可完成）。
空间复杂度：O(1)，无需额外空间。
步骤：
- 遍历每个可能中心位置 j（下标 1 到 n-2）。
- 向左扫描检查是否存在 a[i] < a[j]。
- 向右扫描检查是否存在 a[k] > a[j]。
- 若两者均满足，则计数器加 1。

预处理法（优化）

时间复杂度：O(n)，通过预处理避免嵌套循环。
空间复杂度：O(n)，需两个辅助数组。
步骤：
- 预处理 left_min：left_min[j] 表示 a[0..j-1] 的最小值。
- 预处理 right_max：right_max[j] 表示 a[j+1..n-1] 的最大值。
- 若 left_min[j] < a[j] < right_max[j]，则 j 是中心。

代码实现（暴力法）

#include <iostream>
using namespace std;const int MAX_N = 1005;
int a[MAX_N];int main() {int n;cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> a[i];}int count = 0;// 中心位置 j 的范围：下标 1 到 n-2for (int j = 1; j <= n-2; j++) {bool left_flag = false;// 向左扫描：找是否存在 a[i] < a[j]for (int i = 0; i < j; i++) {if (a[i] < a[j]) {left_flag = true;break; // 找到即退出}}if (!left_flag) continue; // 左侧无更小数则跳过bool right_flag = false;// 向右扫描：找是否存在 a[k] > a[j]for (int k = j+1; k < n; k++) {if (a[k] > a[j]) {right_flag = true;break; // 找到即退出}}if (left_flag && right_flag) {count++;}}cout << count << endl;return 0;
}

代码解析

输入处理：读取数列长度 n 和数列 a。
中心位置遍历：
- 下标 j 从 1 到 n-2（因首尾不能作为中心）。
左侧检查：
- 从 j-1 向左扫描至 0，若有 a[i] < a[j] 则标记 left_flag。
右侧检查：
- 若左侧满足，再从 j+1 向右扫描至末尾，若有 a[k] > a[j] 则标记 right_flag。
计数条件：left_flag 和 right_flag 同时为真时计数。

实例验证

输入：n=5, a = {1, 2, 5, 3, 5}
验证过程：
j a[j] 左侧检查右侧检查是否计数
1 2 1<2 → 满足 5>2 → 满足 ✓
2 5 1<5 → 满足 3<5, 5=5 → 不 ✗
3 3 1<3,2<3 → 满足 5>3 → 满足 ✓
输出：2（与样例一致）

`j`	`a[j]`	左侧检查	右侧检查	是否计数
1	2	1<2 → 满足	5>2 → 满足	✓
2	5	1<5 → 满足	3<5, 5=5 → 不	✗
3	3	1<3,2<3 → 满足	5>3 → 满足	✓

注意事项

边界处理：
- 当 n < 3 时直接输出 0（无法构成三元组）。
- 中心位置 j 的范围严格限定为 [1, n-2]（下标从 0 开始）。
严格递增：
- 必须满足 a[i] < a[j] < a[k]，相等不成立。
性能保障：
- 最坏情况（如完全逆序数列）仍可在 1 秒内处理 n=1000。

优化建议

测试用例设计

测试用例	预期输出	验证点
n=2, [1,2]	0	最小长度边界
n=3, [3,2,1]	0	完全逆序数列
n=4, [1,1,1,1]	0	全相等
n=5, [5,4,3,2,1]	0	严格递减
n=5, [1,3,2,4,5]	1	中心在位置1（值3）
n=6, [1,2,3,4,5,6]	4	完全递增时的中心数量

预处理法：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAX_N = 1005;
const int INF = 10001; // 大于数据最大值（10000）
int a[MAX_N], left_min[MAX_N], right_max[MAX_N];int main() {int n;cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];// 初始化边界left_min[0] = INF; // 位置0无左侧元素right_max[n-1] = 0; // 位置n-1无右侧元素// 预处理左侧最小值for (int i = 1; i < n; i++) {left_min[i] = min(left_min[i-1], a[i-1]);}// 预处理右侧最大值for (int i = n-2; i >= 0; i--) {right_max[i] = max(right_max[i+1], a[i+1]);}int count = 0;for (int j = 1; j <= n-2; j++) {if (left_min[j] < a[j] && a[j] < right_max[j]) {count++;}}cout << count << endl;return 0;
}