不同坐标系下的 面积微元
以下是关于不同坐标系下面积微元 d A dA dA 的补充说明，并以表格形式呈现：
📌 不同坐标系下的面积微元 d A dA dA 表
| 坐标系类型 | 表达形式 d A dA dA | 对应变量说明 | 备注说明 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 直角坐标系 | d x d y dx\,dy dxdy | x , y x, y x,y | 标准的矩形微元面积 | ||||
| 极坐标系 | r d r d θ r\,dr\,d\theta rdrdθ | r r r 是半径， θ \theta θ 是角度 | 面积元素是扇形微元，面积近似为 r Δ r Δ θ r \Delta r \Delta\theta rΔrΔθ | ||||
| 柱面坐标系 | r d r d θ d z r\,dr\,d\theta\,dz rdrdθdz | r , θ , z r, \theta, z r,θ,z | 用于三维积分， d V = r d r d θ d z dV = r\,dr\,d\theta\,dz dV=rdrdθdz， d A dA dA 指投影面上面积 | ||||
| 球坐标系 | r 2 sin ϕ d r d ϕ d θ r^2 \sin\phi\,dr\,d\phi\,d\theta r2sinϕdrdϕdθ | r r r 半径， ϕ \phi ϕ 仰角， θ \theta θ 方位角 | 用于三维积分， d V = r 2 sin ϕ d r d ϕ d θ dV = r^2 \sin\phi\,dr\,d\phi\,d\theta dV=r2sinϕdrdϕdθ | ||||
| 一般变换坐标系 | ( | J(u, v) | ,du,dv ) | u , v u, v u,v：新变量坐标系 | ( J = \left | \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right | )，Jacobian 行列式用于面积缩放修正 |
✅ 说明
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Jacobian 的作用：当坐标变换后，单位面积可能被拉伸或压缩，Jacobian 行列式就是变换前后面积的缩放因子。
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通用表达式：
d A = ∣ ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ∣ d u d v dA = \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right| du\,dv dA= ∂(u,v)∂(x,y) dudv
适用于任意从 ( u , v ) → ( x , y ) (u, v) \to (x, y) (u,v)→(x,y) 的光滑变换。
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二维面积与三维体积的区别：
面积 d A dA dA 为二维微元，体积 d V dV dV 是三维积分时使用的体积微元。