高中数学配凑法

前言

配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 注意：变形的等价性及基本不等式应用的前提条件. 配凑法也是高中数学中比较常用的一种数学方法。

使用场景

• 为了将分式函数化简，使用配凑法；

• 为了使用均值不等式，使用配凑法；

• 为了判断函数的单调性，使用配凑法；

• 为了求函数的解析式，使用配凑法；

典例剖析

【配凑和为定值】已知$x，y>0$，$2x+3y=4$，求$xy$的最大值；

法1：$xy=\frac{6xy}{6}=\frac{(2x)\cdot (3y)}{6}\le \frac{1}{6}\cdot (\frac{2x+3y}{2}{)}^2=\frac{2}{3}$

当且仅当$\{\begin{array}{l}2x=3y\\ 2x+3y=4\end{array}$时，取到等号；即$x=1$，$y=\frac{2}{3}$时取到等号；

解后反思：配凑出$2x+3y$的和为定值，为了能正常使用均值不等式；

法2：代换法，变量集中。由$2x+3y=4$，得到$x=\frac{4-3y}{2}>0$，得到$0<y<\frac{4}{3}$，

代入$xy$得到，$xy=\frac{4-3y}{2}\cdot y=\frac{-3y^2+4y}{2}=-\frac{3}{2}{y}^2+2y$，$0<y<\frac{4}{3}$，

按照二次函数在限定区间上的最值求法求解即可；

【配凑积为定值】已知 $x>0$，求$y=x+\frac{2}{2x+1}-\frac{3}{2}$的最小值；

法1：由$y=x+\frac{2}{2x+1}-\frac{3}{2}$，得到

$2y=2x+\frac{2\times 2}{2x+1}-3$，即

$2y=(2x+1)+\frac{2\times 2}{2x+1}-3-1$，故

$2y⩾2\sqrt{(2x+1)\times \frac{2\times 2}{2x+1}}-4=0$，

即$y⩾0$，当且仅当$x=\frac{1}{2}$时取得等号；

法2：由$y=x+\frac{2}{2x+1}-\frac{3}{2}$，得到

$y=x+\frac{1}{x+\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}$，即

$y=(x+\frac{1}{2})+$