简单数学板子和例题
线性丢番图方程
ax+by=c
d=gcd(a,b)，若c|d，有无穷整数解 x = x 0 + b d n , y = y 0 − a d n x=x_0+{b\over d}n,y=y_0-{a\over d}n x=x0+dbn,y=y0−dan
POJ 1265
poj真难用，abs一直报错，万能头也不能用，给我调红温了
struct point
{int x,y;
} q[1010];
int n;
ll num,In;
double S;
int gcd(int A,int B)
{return B==0?A:gcd(B,A%B);
}
int Mult(point A,point B)
{return A.x*B.y-B.x*A.y;
}
int main()
{int T,xx,yy,sx,sy,dx,dy,K=0;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&n);sx=sy=0;S=0;num=0;for(int i=1; i<=n; i++){scanf("%d%d",&xx,&yy);sx+=xx;sy+=yy;q[i].x=sx;q[i].y=sy;}q[0].x=q[n].x;q[0].y=q[n].y;for(int i=0; i<n; i++){S+=Mult(q[i],q[i+1]);dx=abs(q[i].x-q[i+1].x);dy=abs(q[i].y-q[i+1].y);num+=gcd(max(dx,dy),min(dx,dy));}S=fabs(S/2);//不确定S是否为正数In=int(S)+1-num/2;//pick定理：点阵中 面积 = 内部格点数 + 边界格点数/2 - 1printf("Scenario #%d:\n",++K);printf("%I64d %I64d %.1f\n\n",In,num,S);}return 0;
}
扩展欧几里得算法
给 a x + b y = c ax+by=c ax+by=c找到一个特解
const int N=3e6+10;
int inv[N];
void solve(){int n,p;cin>>n>>p;inv[1]=1;cout<<inv[1]<<endl;forr(i,2,n){inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;cout<<inv[i]<<endl;}
}
求逆
模意义下的乘法逆元
递推求1~n的模p的逆
1 − 1 = 1 若 p / k = i . . . r ，那么 k i + r ≡ 0 ( m o d p ) ( p / i ) r − 1 + i − 1 ≡ 0 ( m o d p ) i − 1 ≡ − ( p / i ) r − 1 ( m o d p ) i − 1 ≡ ( p − p / i ) r − 1 ( m o d p ) 1^{-1}=1 \\ 若p/k=i...r，那么ki+r\equiv 0(mod\ \ p)\\ (p/i)r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(mod\ \ p)\\ i^{-1}\equiv -(p/i)r^{-1}(mod\ \ p)\\ i^{-1}\equiv (p-p/i)r^{-1}(mod\ \ p) 1−1=1若p/k=i...r，那么ki+r≡0(mod p)(p/i)r−1+i−1≡0(mod p)i−1≡−(p/i)r−1(mod p)i−1≡(p−p/i)r−1(mod p)
const int N=3e6+10;
int inv[N];
void solve(){int n,p;cin>>n>>p;inv[1]=1;cout<<inv[1]<<endl;forr(i,2,n){inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;cout<<inv[i]<<endl;}
}
gcd
P1029最大公约数和最小公倍数问题
x y = P Q , g c d ( P , Q ) = x , l c m ( P , Q ) = y xy=PQ,gcd(P,Q)=x,lcm(P,Q)=y xy=PQ,gcd(P,Q)=x,lcm(P,Q)=y
给出xy，求出P Q对数
枚举
void solve()
{int x,y;cin>>x>>y;int a=x*y;int ans=0;for(int i=1;i*i<=a;i++){//枚举P Qif(a%i==0&&__gcd(i,a/i)==x)ans+=(i==a/i?1:2);//注意完全平方数 是一个情况}cout<<ans<<endl;
}
P10426
裴属定理
a x + b y = k gcd ( a , b ) ax+by=k\gcd(a,b) ax+by=kgcd(a,b)
P4549
A 1 x 1 + A 2 x 2 + A 3 x 3 = k gcd ( A 1 , A 2 ) + A 3 x 3 = k ′ gcd ( A 1 , A 2 , A 3 ) A_1x_1+A_2x_2+A_3x_3=k\gcd(A_1,A_2)+A_3x_3=k'\gcd(A_1,A_2,A_3) A1x1+A2x2+A3x3=kgcd(A1,A2)+A3x3=k′gcd(A1,A2,A3)
void solve()
{int n;cin>>n;vector<int>a(n+1);forr(i,1,n){cin>>a[i];}int s=0;s=__gcd(a[1],a[2]);for(int i=3;i<=n;i++){s=__gcd(a[i],s);}cout<<abs(s)<<endl;
}
素数
位运算
P1469
相同的数两两异或得0
void solve()
{int n;cin>>n;int ans=0;forr(i,1,n){int a;cin>>a;ans=ans^a;// cout<<ans<<' ';}cout<<ans<<endl;
}