算法篇----二分查找

由于我们之前已经在学习C/C++过程中写过一些二分查找的代码，这里不在赘述其定义

1、综述

实不相瞒的说，二分查找是所有算法中最恶心，细节最多，最容易写出死循环的算法，但是当你熟练掌握后，这也是最简单的算法

之前或许网上听到有人说，这种算法只能用于数组有序的情况，实际上则不然，具体应用场景我会从例子中抽象出来，之后便是其有固定的模板，但是建议大家不要死记硬背，要理解之后在记忆！模板总共可以划分为三大类：朴素的二分模板，查找左边界的二分模板，以及查找右边界的二分模板，其中第一种很简单，但是局限性比较大，后两者是万能的，但是细节会比较多！

2.例题详解

2.1 二分查找

这道题要求很简单，就是要求我们在一个数组里面找到指定的数值，相比大家看到这个题应该就有解法了吧？

方法一：暴力破解

我们就遍历数组，值为targrt就返回下标，走了一圈啥也没找到就返回-1

方法二：二分查找

由于已经是升序了，我们就不用再排了

我们还是先设置两个指针，一个指向第一个数，叫left，另一个指向最后一个，叫right，随后我们再设置一个指针mid指向数组的中间位置，这个时候，问题来了，数组元素有可能是奇数也有可能是偶数，那怎么办呢？这个问题我们稍后再讲，留个悬念~

我们先完成主线任务，当我们的arr[mid]<target时，说明我们的mid所指元素比target小，那么mid左侧的数我们是不是就不用看了？直接让left=mid+1就好了，之后再对[left,right]区间重复操作！

当我们的arr[mid]>target时，说明我们的mid所指元素比target大，那么mid右侧的一坨数我们是不是就不用看了？直接让right=mid-1就好了，之后再对[left,right]区间重复操作！

当我们的arr[mid]==target时，说明我们的mid所指元素等于target，那直接返回下标Mid就欧克了。

现在我们看一下mid怎么求，如果你用（left+right+1)/2的话可能会有溢出，这里不建议这样做，这里推荐一种防止溢出的方法，即让Left向右移动一半的数组长度的距离不就可以了吗？所以我们的Mid=left+(right-left)/2.由于这里是朴素的模板写法，所以mid=left+(right-left+1)/2也可以

注意：我们每一次查找的小区间都是未知的，所以循环条件应该是left<=right

代码示例：

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left=0,right=nums.size()-1;while(left<=right){int mid =left+(right-left)/2;   //防溢出if(nums[mid]<target) left=mid+1;else if(nums[mid]>target) right=mid-1;else return mid;}return -1;}
};

为此，我们抽象出朴素的二分查找模板：

 朴素的二分查找模板：

while(left<=right)
{int mid =left+(right-left)/2;   //防溢出if(...) left=mid+1;else if(...) right=mid-1;elsereturn ...;
}

2.2 查找指定元素的第一个和最后一个位置 

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 - 力扣（LeetCode）

这道题给定我们一个非降序的数组，让我们找两个位置，使其满足题目条件，首先我们要理解好什么是非降序，他与升序有什么区别！！！

解法一）暴力破解：遍历数组元素

我们可以从左到右遍历数组，遇到值为target的数，就返回下标，并求得下标的最小值和最大值就Ok,但是此种方法的时间复杂度为O(N).

解法二）二分查找：朴素版

我们能否使用上一题的朴素解法来解决呢？可以是可以，但是在极端情况下，时间复杂度还是O(N),因为当我们的数组元素要都是target的话，那我们就相当于要遍历一遍整个数组了。

解法三）二分查找：左边界+右边界 

题目既然要求我们找左边界和右边界，那我们换一个想法，不就是相当于找最边界的两个数吗？那要是这样的话，我们为什么不把题目一分为二呢？一个去二分找左边界，另一个二分去找右边界！
 

我们来分析左边界的情况：

我们先来分析一下总体的情况，假设我们找到了数组的中间部位，并且其指向元素为x，那么无非会分为以下几种情况：

情况一）x<t,这种情况下，我们的中间值的值要小于target,所以Mid左边的就不用看了，直接让left=mid+1就好，没有必要让left=mid,因为Mid这里的也不符合，会多此一举！

情况二）x>=t,这种情况下，我们的中间值的值要大于等于target,那说明我们mid右侧的元素就不用看了，直接让right=mid就好，注意，这里不能是mid-1,因为我们的mid有可能也是等于target的，这一点要区别于朴素版！

首先就是前面的问题，由朴素版可知，中点有两个公式可以求：

公式一）mid=left+(right-left)/2

公式二）mid=left+(right-left+1)/2

那我们用哪个公式好呢？

我们可以验证一下：

当数组为偶数时，公式一的mid偏左，公式二的mid偏右

假设此时数组里面只有两个元素的时候

倘若用公式一，当x==target的时候，mid指的是1位置，之后直接让right=mid,left直接跳过了mid,不会造成死循环，

但是倘若用公式二，当x==target的时候，mid指的是2位置，本身也是right指向的位置，之后你再让right=mid,相当于你没动，卡死了！

因此在左边界的选择中，我们选公式一！

同理，在分析一下右边界的情况，

我们先来分析一下总体的情况，假设我们找到了数组的中间部位，并且其指向元素为x，那么无非会分为以下几种情况：

情况一）x<=t,这种情况下，我们的中间值的值要小于target,所以Mid左边的就不用看了，直接让left=mid就好，不能让left=mid+1,因为Mid可能也符合！

情况二）x>t,这种情况下，我们的中间值的值要大于target,那说明我们mid右侧的元素就不用看了，直接让right=mid-1就好，注意，这里没有必要是mid,因为我们的mid也是大于target的

首先还是前面的问题，由朴素版可知，中点有两个公式可以求：

公式一）mid=left+(right-left)/2

公式二）mid=left+(right-left+1)/2

那我们用哪个公式好呢？

我们可以验证一下：

当数组为偶数时，公式一的mid偏左，公式二的mid偏右

假设此时数组里面只有两个元素的时候

倘若用公式一，当x==target的时候，mid指的是1位置，本身也是left指向的位置，之后你再让left=mid,相当于你没动，卡死了！

但是倘若用公式二，当x==target的时候，mid指的是2位置,之后直接让right=mid-1,right直接跳过了mid,不会造成死循环，

因此在左边界的选择中，我们选公式二！

参考代码：

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {//处理边界情况if(nums.size()==0) return {-1,-1};int begin=0;//1.二分左端点int left=0,right=nums.size()-1;while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target)  left=mid+1;else right=mid;}//判断是否有结果if(nums[left]!=target) return {-1,-1};else begin=left;  //标记一下左端点//2.二分右端点left=0,right=nums.size()-1;while(left<right){int mid=left+(right-left+1)/2;if(nums[mid]<=target)  left=mid;else right=mid-1;}return {begin,right};}
};

 左、右边界的二分查找模板：

更正：当下面出现-1的时候，上面就+1 

2.3 x的平方根

 69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）

这道题要求我们找一个数的算术平方根，并返回整数部分即可，并且题目明确指出，不能使用库函数例如pow之类的，那我们应该怎么解决呢？

解法一）暴力破解

这道题的暴力破解方法应该还是比较容易想到的，我们就1开始一一例举每个数的平方就好了，找到符合的数就返回就ok

解法二）二分查找

题目已经给定了我们数x，那么我们只需要在区间[1,x]内寻找即可，二分后无非就是有两种情况，<=x和>x,对于情况一，说明我们二分的这个点的平方小于等于x，那我们就让left=mid就好，之后继续找，对于情况二，说明我们二分的这个点的平方大于x，那我们就让right=mid-1就好，之后继续找

参考代码：

class Solution {
public:int mySqrt(int x) {if(x<1) return 0;  //处理边界情况int left=1,right=x;while(left<right){long long mid=left+(right-left+1)/2;   //防溢出if(mid*mid<=x) left=mid;else right=mid-1;}return left;}
};

2.4 插入、查找数据 

35. 搜索插入位置 - 力扣（LeetCode）

这道题题目要求很简单，找到目标值就返回下标，找不到就按照其应该在的顺序返回下标

解题思路：

题目都指定说时间复杂度要O(log n)，那明摆着就是要二分查找了，我们还是分析情况，假设Mid指向的元素为x

情况一：x<t   -> left=mid+1

情况二：x>=t  ->right =mid 

问题解决！套代码！

参考代码：

暴力破解：

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target){int flag=0;int b= nums.back();if(b<target){return nums.size();}else{for(int i=0;i<nums.size();i++){if(nums[i]==target){flag=i;break;}else{if(target>nums[i]&&target<nums[i+1]){flag= i+1;}}}}return flag;}
};

二分查找：

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left=0,right=nums.size()-1;while(left<right){int mid =left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target) left=mid+1;else right=mid;}if(nums[left]<target) return right+1;return left;}
};

2.5 山峰数组峰顶索引

852. 山脉数组的峰顶索引 - 力扣（LeetCode）

这道题要求我们找山峰数组的峰顶索引，我们还是有两种方法来解决这个题目

解题思路：

方法一）暴力破解

这道题的解决方法也很简单，就是看arr[i]与arr[i+1]的关系,如果arr[i]>arr[i-1]&&arr[i]<arr[i-1]，那么他就是峰顶，我们返回下标就可以了

方法二）二分查找

我们还是先找到中间点，之后判断arr[mid]与arr[mid-1]的关系，

如果arr[mid]>arr[mid-1]  ->  left=mid

如果arr[mid]<arr[mid-1]   ->  right=mid-1

参考代码：

class Solution {
public:int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {int left=1,right=arr.size()-2;     //最边上的两个一定不是峰顶while(left<right){int mid=left+(right-left+1)/2;if(arr[mid]>arr[mid-1])  left=mid;else right=mid-1;}return left;}
};

 2.6 寻找峰顶

162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）

这个题也是呀求我们去找一个峰值，但是与上一题不同的是，这道题的山峰可能是”重峦叠嶂“的，那么我们应该怎么解决这道题吗？

解题思路：

方法一）暴力破解

这道题的暴力解法比较纯粹，就是从第一个位置开始，一直向后走，分情况讨论即可，我们总共可以分为如下三种情况：

方法二）二分查找

这道题说时间复杂度要O(log N)，那无疑就是在暗示你用二分查找，通过这个题也证明了一件事，就是二分查找的使用前提条件并不是只能用于有序的数组，像这种无序的也是可以的！

好，我们具体看一下怎么解决这道题：

肯定还是要从山峰的特点下手，假设我们取得了中点Mid,可能就会有两种情况：
1、arr[mid]>arr[mid+1]   -->right=mid

2、arr[mid]<arr[mid+1]   -->left=mid+1

可以参考下图理解：

说明m往右的局部都不符合了，缩小右端点范围

 说明m+1往左的局部都不符合了，缩小左端点范围

 参考代码：

class Solution {
public:int findPeakElement(vector<int>& nums) {int left=0,right=nums.size()-1;while(left<right){int mid = left+(right-left)/2;if(nums[mid]>nums[mid+1]) right=mid;else left=mid+1;}return left;}
};

2.6搜索旋转排序数组中的最小值

153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）

这道题要我们找最小值的下标，解决方法如下：

方法一）暴力破解

就是挨个访问数组，找出最小值返回下标

方法二）二分查找

旋转后的数组是这样的：

其中 C 点就是我们要求的点因此，当 mid 在 [A，B] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格大于 D 点的值，下一次查询区间在 [mid + 1，right] 上； 当 mid 在 [C，D] 区间的时候，也就是 mid 位置的值严格小于等于 D 点的值，下次查询区间在 [left，mid] 上。 

参考代码：

class Solution {
public:int findMin(vector<int>& nums) {int left=0,right=nums.size()-1;int x=nums[right];while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]>x)  left=mid+1;else right=mid;}return nums[left];}
};

2.7 缺失的数字

LCR 173. 点名 - 力扣（LeetCode）

这道题解题方法有很多种

解题思路

方法一）哈希表

直接把数组元素放到哈希表里面，看哪个位置是0就完事了，之后进行返回

方法二）直接遍历找结果

正常都是后一个比前一个大1，要是突然大2那就是这里有缺失，返回数值就好

方法三）位运算

由C语言我们可知，a^a==0，那么我们造一个完整的数组，让他们一起进行位运算，剩的就是那个缺失的数

方法四）高斯求和

我们可以先求一个完整的数组的和，在挨个减去这个已知数组的每个元素，剩下的就是缺失的值

方法五）二分查找

实际上，这个数组是有二段性的，我们不妨画一下图：

我们发现在缺之前，都是数值和下标相等的，但是缺之后就不相等了，因此我们可以使用二分查找算法，具体操作如下：

当mid落在左区间时，即arr[mid]==mid 时，说明我们要向右查找，因此让left==mid+1 

当mid落在右区间时，即arr[mid]!=mid 时，说明我们要向左查找，因此让right==mid

最后还有一个小的细节，就是假设[0,1,2,3,4]缺的是4，如下图：

这种情况我们在代码里面用一个小的三目表达式就能处理好了！

参考代码：

class Solution {
public:int takeAttendance(vector<int>& nums) {//解法5int left=0,right=nums.size()-1;while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]==mid)  left=mid+1;else right=mid;}//处理细节问题return nums[left]==left?left+1:left;}
};

 

二分查找到此结束，接下我们将更新前缀和算法！