【随机过程】贝叶斯估计
习题8-37
总平方和分解（Total Sum of Squares Decomposition）
这个恒等式：
∑ ( x i − θ ) 2 = ∑ ( x i − x ˉ ) 2 + n ( x ˉ − θ ) 2 \sum\left(x_i-\theta\right)^2 = \sum\left(x_i-\bar{x}\right)^2 + n(\bar{x}-\theta)^2 ∑(xi−θ)2=∑(xi−xˉ)2+n(xˉ−θ)2
是统计学中著名的 总平方和分解（Total Sum of Squares Decomposition）。它的推导如下：
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从左侧开始： ∑ ( x i − θ ) 2 \sum (x_i - \theta)^2 ∑(xi−θ)2
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在平方项中加上并减去 x ˉ \bar{x} xˉ（样本均值）： ∑ [ ( x i − x ˉ ) + ( x ˉ − θ ) ] 2 \sum [(x_i - \bar{x}) + (\bar{x} - \theta)]^2 ∑[(xi−xˉ)+(xˉ−θ)]2
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展开平方： ∑ [ ( x i − x ˉ ) 2 + 2 ( x i − x ˉ ) ( x ˉ − θ ) + ( x ˉ − θ ) 2 ] \sum \left[(x_i - \bar{x})^2 + 2(x_i - \bar{x})(\bar{x} - \theta) + (\bar{x} - \theta)^2\right] ∑[(xi−xˉ)2+2(xi−xˉ)(xˉ−θ)+(xˉ−θ)2]
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分配求和： ∑ ( x i − x ˉ ) 2 + 2 ( x ˉ − θ ) ∑ ( x i − x ˉ ) + ∑ ( x ˉ − θ ) 2 \sum (x_i - \bar{x})^2 + 2(\bar{x} - \theta)\sum (x_i - \bar{x}) + \sum (\bar{x} - \theta)^2 ∑(xi−xˉ)2+2(xˉ−θ)∑(xi−