【数据结构】1-3 算法的时间复杂度

数据结构知识点合集：数据结构与算法

• 知识点

• 时间复杂度的定义

1、算法时间复杂度

  事前预估算法时间开销T(n)与问题规模 n 的关系（T 表示 “time”）

2、语句频度

  算法中语句的执行次数

  对于以上算法，语句频度：

    ① ——1次 ② ——3001次 ③④ ——3000次 ⑤ ——1次

    T(3000) = 1 + 3001 + 2*3000 + 1

  时间开销与问题规模 n 的关系：

    T(n)=3n+3

  大O记号表示算法的一种渐近时间复杂度；大O表示“同阶”，同等数量级。即：当 n->∞时，二者之比为常数

  结论1：可以只考虑阶数高的部分

  结论2：问题规模足够大时，常数项系数也可以忽略

• 时间复杂度的计算规则

1、加法规则

T(n) = T1(n) + T2(n) = O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n), g(n)))

  多项相加，只保留最高阶的项，且系数变为1

2、乘法规则

T(n) = T1(n)×T2(n) = O(f(n))×O(g(n)) = O(f(n)×g(n))

  多项相乘，都保留

3、常见时间复杂度的比较

O(1) < O(log2n) < O(n) < O(nlog2n) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(nn)

  常<对<幂<指<阶

4、顺序执行的代码只会影响常数项，可以忽略

5、只需挑循环中的一个基本操作分析它的执行次数与 n 的关系即可

6、如果有多层嵌套循环，只需关注最深层循环循环了几次

例：计算以下算法的时间复杂度 T(n)：

  设最深层循环的语句频度（总共循环的次数）为 x，则由循环条件可知，循环结束时刚好满足 2^x > n

  x = log_2(n) + 1

  T(n) = O(x) = O(log_(2)n)

• 三种常用的时间复杂度

最坏时间复杂度：最坏情况下算法的时间复杂度

平均时间复杂度：所有输入示例等概率出现的情况下，算法的期望运行时间

最好时间复杂度：最好情况下算法的时间复杂度