数据结构 -- 顺序查找和折半查找
查找的基本概念
基本概念
查找：在数据集合中寻找满足某种条件的数据元素的过程
查找表（查找结构）：用于朝朝的数据集合称为查找表，它由同一类型的数据结构元素（或记录）组成
关键字：唯一标识该元素的某个数据项的值，使用基于关键字的查找，查找结果应该是唯一的
对查找表的常见操作
①查找符合条件的数据元素
②插入、删除某个数据元素
只需要进行操作①–静态查找表–著需要关注查找速度
也要进行操作②–动态查找表–还需要关注插入、删除操作是否方便实现
查找算法的评价指标
查找长度：查找运算中，需要对比关键字次数
平均查找长度（ASL）：查找过程中进行关键字比较次数的平均值
通常考虑查找成功、查找失败两种情况下的ASL
顺序查找
算法思想
从头到尾/从尾到头依次查找
基本实现
typedef struct{ElemType *elem;int TableLen;
}SSTable;//顺序查找
int Search_Seq(SSTable ST,ElemType key){int i;for(i = 0;i<ST.TableLen && ST.elem[i] != key;++i);return i==ST.TableLen?-1:i;
}
实现（哨兵）
typedef struct{ElemType *elem;int TableLen;
}SSTable;//顺序查找
int Search_Seq(SSTable ST,ElemType key){ST.elem[0] = key; //查找表中从1号位置开始存放数据，0号位置存放“哨兵”int i;for(i = ST.TableLen;ST.elem[i] != key;--i);return i; //查找成功，返回元素下标；查找失败，返回0
}
优点：无需判断是否越界，执行效率更高（但是并没有质的提升）
效率分析
查找成功：ASL=(n+1)/2 时间复杂度：O(n)
查找失败：ASL=n+1 时间复杂度：O(n)
顺序查找的优化（对有序表）
以查找表中元素递增存放为例：
若查找到某个元素大于查找目标，则可判定为查找失败（后面的元素都大于查找目标）
ASL(失败) = (1+2+……+n+n)/n+1 = n/2+n/(n+1)
查找算法判定树分析ASL
一个成功节点的查找层数 = 自身所在的层数
一个失败节点的查找长度 = 其父节点所在的层数
默认情况下，各种成功情况或失败情况都等概率发生
折半查找（考察频率高）
算法思想
又称“二分查找”，仅适用于有序的顺序表
每次将查找范围折半，逐步缩小查找区间，直到找到目标元素或查找区间为空。
前提：数据必须是有序的（通常是升序）。
取中间元素：
- 计算中间下标
mid = (low + high) // 2。
比较中间元素和目标值：
- 若
target == arr[mid]：查找成功。 - 若
target < arr[mid]：继续在左半部分查找。 - 若
target > arr[mid]：继续在右半部分查找。
重复步骤 2-3，直到找到目标或范围为空（low > high）。
算法实现
typedef struct{ElemType *elem;int TableLen;
}SSTable;int Binary_Search(SSTable L,ElemType key){int low = 0,high = L.TableLen-1,mid;while(low<=high){mid = (low+high)/2; //取中间位置if(L.elem[mid] == key)return mid; //查找成功返回所在位置else if(L.elem[mid]<key)low = mid+1; //从后半部分查找elsehigh = mid-1; //从前半部分查找}return -1;
}
查找效率分析
例：
ASL（成功） = (1*1 + 2*2 + 3*4 + 4*4)/11 = 3
ASL（失败） = (3*4+4*8)/12 = 11/3
查找判定树的构造
如果当前low和high之间有奇数个元素，则mid分割后，左右两部分元素个数相等
如果当前low和high之间有偶数个元素，则mid分割后，左半部分比右半部分少一个元素
折半查找的判定树中，若mid = [(low+high)/2] 则对于任何一个结点，必有：右子树个数-左子树个数 = 0或1
折半查找的判定树一定只有最下面一层是不满的
h = [log2(n+1)]
判定树结点关键字：左<中<右，满足二叉排序树的定义
失败节点：n+1（等于成功结点的空链域数量）
折半查找的查找效率
树高h = [log2(n+1)] 查找成功ASL ≤ h 查找失败ASL ≤ h
时间复杂度O(log2n)
[!WARNING]
折半查找的速度一定比顺序查找更快？
❌ 一般情况下，折半查找比顺序查找表现优秀，但不是所有情况下折半查找都更快
若mid = (low+high)/2（向上取整） ？
左子树结点数-右子树结点数 = 0或1
分块查找（手算模拟+平均查找长度）
分块查找的算法思想
eg. 第一个区间：≤10 第二个区间：≤20 ……
“索引表”中保存每个分块的最大关键字和存储的区间
特点：块内无序，块间有序
typedef struct{ElemType maxValue;int low,high;
}Index;//顺序表存储实际元素
ElemType List[100];
算法过程：
①在索引表中确定待查记录所属的分块（可顺序、可折半）
②在块内顺序查找
用折半查找查索引
若索引表中不包含目标关键字，则折半查找索引表最终停在low>high，要在low所指的分块中进行查找
low超出索引表的范围时，查找失败
查找效率分析（ASL）
共有14个元素可能被查找，各自被查找的概率为1/14
若索引表顺序查找
7（2）、10（3）、13（3）……
若索引表折半查找（一般不考、计算量大）
30（4）✔、27（2）❌
查找失败的情况（更复杂，一般不考）
【可能会考的情况】（顺序查找，效率和最优分块）
【拓展思考】
若查找表是“动态查找表”，更好的实现方式 – 使用链式存储
（否则在目标关键字插入时，需要大量元素的移动）